Vigirdas Mackevičius

I. KELIU_{‘} KINTAMU_{‘} JU_{‘} FUNKCIJOS

1. Erdvė IR^{k}

1.1. Apibrėžimas. Erdve IR^{k} vadinama aibė

IR^{k} := \underbrace{IR × IR × ⋯ × IR}_{k} = \{x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{k}) : x_{i} ∈ IR, i = 1, 2, …, k\}.

Erdvės IR^{k} taškai x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{k}) dar vadinami k-mačiais realiaisiais vektoriais, o skaičiai x_{1}, x_{2}, …, x_{k} – ju_{‘} koordinatėmis.^{1} Dvieju_{‘} tašku_{‘} x, y ∈ IR^{k} skaliarine sandauga vadinamas skaičius

⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{k} x_{i}y_{i}.

Skaičius |x| := \sqrt{⟨x, x⟩} = \sqrt{∑_{i=1}^{k} x_{i}^{2}} vadinamas taško x ∈ IR^{k} norma (arba vektoriaus x ilgiu).

Norma dažnai žymima ir simboliu ∥x∥. Mes ši_{‘} simboli_{‘} rezervuojame matricos normos žymėjimui.

1.2. Teiginys (Skaliarinės sandaugos ir normos savybės). 1) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩, x, y ∈ IR^{k};

2) ⟨x, x⟩ ≥ 0; ⟨x, x⟩ = 0 ⟺ x = 0 = (0, 0, …, 0);

3) ⟨αx + βy, z⟩ = α⟨x, z⟩ + β⟨y, z⟩, x, y, z ∈ IR^{k};

4) |⟨x, y⟩| ≤ |x| |y|, x, y ∈ IR^{k};

5) |x| ≥ 0; |x| = 0 ⟺ x = 0;

6) |αx| = |α| |x|, x ∈ IR^{k}, α ∈ IR.

7) |x + y| ≤ |x| + |y|,  x, y ∈ IR^{k}  (trikampio nelygybė).

Pastaba. Vektoriai sudedami ir dauginami iš skaičiaus (skaliaro) ,,pakoordinačiui“: (x + y)_{i} := x_{i} + y_{i}, (αx)_{i} := αx_{i}.

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} VM, 1999.

1 Paprastai (nors ir nevisada) vektoriaus koordinatės žymimos ta pačia indeksuota raide, kaip ir pats vektorius.

I_{‘} rodymas. 1), 2), 3) savybės akivaizdžios.

4) Pasinaudodami 2) savybe, su visais x, y ∈ IR^{k} ir su visais λ ∈ IR turime

\begin{matrix}P (λ) := & < λx − y, λx − y⟩ = λ⟨x, x⟩ − 2λ⟨x, y⟩ + ⟨y, y⟩ \\ = & λ^{2}|x|^{2} − 2λ⟨x, y⟩ + |y|^{2} ≥ 0. \end{matrix}

Todėl kvadratinio trinario P diskriminantas

D := 4⟨x, y⟩^{2} − 4|x|^{2}|y|^{2} ≤ 0 ⟹ |⟨x, y⟩| ≤ |x||y|.

5) ir 6) savybės akivaizdžios.

7) |x + y|^{2} = ⟨x + y, x + y⟩ = |x|^{2} + 2⟨x, y⟩ + |y|^{2} ≤ |x|^{2} + 2|x| |y| + |y|^{2} = (|x| + |y|)^{2}. △

1.3. Apibrėžimas. Metrika arba atstumu erdvėje X = IR^{k} vadinama funkcija d: X × X → [0, ∞), apibrėžiama lygybe

d(x, y) := |x − y|, x, y ∈ X.

1.4. Teiginys (Metrikos savybės).

1) d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ X;

2) d(x, y) = 0 ⟺ x = y;

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ X (trikampio nelygybė).

I_{‘} rodymas. 1) ir 2) išplaukia iš 5) ir 6) normos savybiu_{‘} (1.2 teiginys). 3) d(x, y) = |x − y| = |(x − z) + (z − y)| ≤ |x − z| + |z − y| = d(x, z) + d(z, y). △

1.5. Pastabos. Tiesinė erdvė X, kurioje apibrėžta skaliarinė sandauga, t.y., funkcija ⟨·, ·⟩: X × X → IR su 1), 2) ir 3) savybėmis, vadinama euklidine (arba Euklido) erdve. Taigi erdvė IR^{k} yra euklidinė. Kitas euklidinės erdvės pavyzdys: visu_{‘} tolydžiu_{‘} intervale [a, b] funkciju_{‘} erdvė X = C[a, b] su skaliarine sandauga

⟨x, y⟩ := ∫_{a}^{b} x(t)y(t) dt, x, y ∈ X.

Tiesinė erdvė X, kurioje apibrėžta norma, t.y., funkcija | · |: X → [0, ∞) su 5), 6) ir 7) savybėmis, vadinama normuota erdve. Bet kokia euklidinė erdvė tampa normuota, apibrėžus joje norma_{‘} formule |x| := \sqrt{⟨x, x⟩}, nes 5), 6) ir 7) savybės i_{‘}rodomos remiantis tik 1), 2) ir 3) savybėmis. Tačiau ne visada norma_{‘} galima apibrėžti skaliarinės sandaugos pagalba. Tokiu_{‘} normu_{‘} pavyzdžiai erdvėje IR^{k}: |x| = max_{1≤i≤k} |x_{i}|, |x| := ∑_{i=1}^{k} |x_{i}|.

1. Erdvė IR^{k} 3

Analogiškos normos erdvėje C[a, b]: |x| := max_{t∈[a,b]} |x(t)|, |x| := ∫_{a}^{b} |x(t)| dt. Pirmoji yra dažniausiai naudojama erdvėje C[a, b].

Aibė X, kurioje apibrėžtas atstumas, t.y., funkcija d: X × X → [0, ∞), pasižyminti 1.4 apibrėžime nurodytomis savybėmis, vadinama metrine erdve. Nors mūsu_{‘} nagrinėjimo objektas yra funkcijos erdvėje IR^{k}, daugelis teiginiu_{‘} yra teisingi bet kokiai metrinei erdvei (pavyzdžiui, erdvei C[a, b] ir kitoms funkciju_{‘} erdvėms, nagrinėjamoms funkcinėje analizėje). Todėl:

Toliau teiginius formuluosime bet kokiai metrinei erdvei X su metrika d, išskirdami tuos atvejus, kai erdvės IR^{k} specifika yra svarbi.

1.6. Apibrėžimas. Atviruoju (uždaruoju) rutuliu su centru x ∈ X ir spinduliu r > 0 vadinama aibė U_{r}(x) = B(x, r) := \{y ∈ X : d(y, x) < r\} (atitinkamai \overline{B}(x, r) := \{y ∈ X : d(y, x) ≤ r}). U_{r}(x) dar vadinamas taško x r-aplinka arba (kai nesvarbi spindulio r skaitinė reikšmė) rutuline aplinka.

Taškas x ∈ X vadinamas aibės A ⊂ X

a) sa_{‘}lyčio tašku, jei ∀ε > 0, U_{ε}(x) ∩ A ≠ ∅ (t.y., jei kiekvienoje taško x aplinkoje yra bent vienas aibės A taškas);

b) ribiniu tašku, jei ∀ε > 0, U_{ε}(x)∩A\{x} ≠ ∅ (t.y., jei kiekvienoje taško x aplinkoje yra bent vienas aibės A taškas, nelygus x);

c) izoliuotu tašku, jei ∃ε > 0 : U_{ε}(x) ∩ A = {x} (t.y., jei taškas x tėra vienintelis aibės A taškas pakankamai mažoje jo aplinkoje).

Visu_{‘} aibės A sa_{‘}lyčio tašku_{‘} aibė žymima \overline{A} ir vadinama aibės A uždariniu. Visu_{‘} aibės A ribiniu_{‘} tašku_{‘} aibė žymima A′ ir vadinama aibės A išvestine. ^{2}

1.7. Pavyzdžiai. 1) Visu_{‘} pirma pastebėkime, kad \overline{A} = A′ ∪ \{aibės A izoliuoti taškai\}. Todėl, jei A = \{x_{1}, x_{2}, …, x_{n}\} ⊂ X – baigtinė aibė, tai A′ = ∅, \overline{A} = A, nes visi tokios aibės A taškai yra izoliuoti. Iš tikru_{‘}ju_{‘}, paėme_{‘} ε = min_{i≠j} d(x_{i}, x_{j}) > 0, su visais x ∈ A gauname U_{ε}(x) ∩ A = {x}.

2) Jei A = \{\frac{1}{n} : n ∈ IN\} ⊂ X = IR, tai A′ = \{0\} ir \overline{A} = A ∪ \{0\} (patikrinkite).
3) \overline{(a, b)} = (a, b)′ = [a, b] erdvėje X = IR (patikrinkite!).
4) \overline{B(x, r)} ⊂ \overline{B}(x, r); jei X = IR^{k}, tai \overline{B(x, r)} = \overline{B}(x, r).

I_{‘} rodymas. Jei y ∈ \overline{B(x, r)}, tai ∀ε > 0, ∃z_{ε} ∈ U_{ε}(y) ∩ B(x, r). Iš čia

∀ε > 0, d(y, x) ≤ d(y, z_{ε}) + d(z_{ε}, x) < ε + r ⟹ d(y, x) ≤ r ⟺ y ∈ \overline{B}(x, r),

2 Aibės išvestinė neturi nieko bendro su funkcijos išvestine.

4 I. KELIU_{‘} KINTAMU_{‘} JU_{‘} FUNKCIJOS

t.y. \overline{B(x, r)} ⊂ \overline{B}(x, r).

Kai X = IR^{k}, imkime bet koki_{‘} taška_{‘} y ∈ \overline{B}(x, r) ir nagrinėkime taškus z_{λ} := λx + (1 − λ)y, λ ∈ (0, 1) (,,intervala_{‘}“, jungianti_{‘} taškus x ir y). Šiems taškams

\begin{aligned}d(z_{λ}, x) & = |z_{λ} − x| = |(λ − 1)x + (1 − λ)y| = |(1 − λ)(y − x)| \\ & = (1 − λ)|(y − x)| ≤ (1 − λ)r < r ⟹ z_{λ} ∈ B(x, r) (∀λ ∈ (0, 1)). \end{aligned}

Antra vertus,

d(z_{λ}, y) = |z_{λ} − y| = |λ(x − y)| = λ|x − y| ≤ λr. Todėl ∀ε > 0, d(z_{λ}, y) < ε (t.y. z_{λ} ∈ U_{ε}(y)), kai λ < \frac{ε}{r}. Taigi ∀ε > 0, U_{ε}(y) ∩ B(x, r) ≠ ∅, t.y. y ∈ \overline{B(x, r)}. I_{‘}sitikinome, kad \overline{B}(x, r) ⊂ \overline{B(x, r)}, taigi ir šiu_{‘} aibiu_{‘} lygybe. △

Pastaba. Pastebėsime, kad bendru atveju teturime \overline{B(x, r)} ⊂ \overline{B}(x, r). Imkime, pavyzdžiui, X = [0, ∞) ∪ \{−1\} (su i_{‘}prastiniu atstumu d(x, y) = |x − y|). Tada \overline{B(0, 1)} = \overline{[0, 1)} = [0, 1], bet \overline{B}(0, 1) = [0, 1] ∪ \{−1\} ≠ \overline{B(0, 1)}.

1.8. Teiginys (Uždarinio savybės). Su bet kokiomis aibėmis A, B ⊂ X 1) A ⊂ \overline{A};

2) A ⊂ B ⟹ \overline{A} ⊂ \overline{B};

3) \overline{\overline{A}} = \overline{A};

4) \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}, \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B}.

Nebūtinai \overline{A ∩ B} = \overline{A} ∩ \overline{B}. Tuo galima i_{‘}sitikinti paėmus, pavyzdžiui, A = (0, 1), B = (1, 2). Tada \overline{A ∩ B} = ∅ ≠ \overline{A} ∩ \overline{B} = \{1\}.

I_{‘} rodymas. 1) ir 2) savybės akivaizdžios.

3) Iš 1) sa_{‘}vybės turime \overline{A} ⊂ \overline{\overline{A}}. I_{‘}rodysim, kad \overline{\overline{A}} ⊂ \overline{A}. Imkime bet koki_{‘} x ∈ \overline{\overline{A}} ir laisvai pasirinkime ε > 0. Pagal aibės uždarinio apibrėžima_{‘} ∃y ∈ U_{ε}(x) ∩ \overline{A}. Pažymėkime ε′ := ε − d(y, x) > 0. Tada U_{ε′}(y) ⊂ U_{ε}(x). Iš tikru_{‘}ju_{‘},

\begin{aligned}z ∈ U_{ε′}(y) & ⟺ d(z, y) < ε′ ⟹ d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < ε′ + d(x, y) = ε \\ & ⟹ z ∈ U_{ε}(x). \end{aligned}

Kadangi y ∈ \overline{A}, tai ∃ỹ ∈ U_{ε′}(y) ∩ A ⊂ U_{ε}(x) ∩ A, t.y. U_{ε}(x) ∩ A ≠ ∅. Tai ir reiškia, kad x ∈ \overline{A}.

4) \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{B} ⊂ \overline{A ∪ B}, \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ⊂ \overline{A ∪ B} ⟹ \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B} ir \overline{A} ∪ \overline{B} ⊂ \overline{A ∪ B}. Antra vertus,

x ∈ \overline{A ∪ B} ⟹ ∀ε > 0, U_{ε}(x) ∩ (A ∪ B) = (U_{ε}(x) ∩ A) ∪ (U_{ε}(x) ∩ B) ≠ ∅
⟹ ∀ε > 0, (U_{ε}(x) ∩ A) ≠ ∅ ∨ (U_{ε}(x) ∩ B) ≠ ∅
⟹ x ∈ \overline{A} ∨ x ∈ \overline{B} ⟹ x ∈ \overline{A} ∪ \overline{B}.

Taigi \overline{A ∪ B} ⊂ \overline{A} ∪ \overline{B}. △

1. Erdvė IR^{k} 5

1.9. Apibrėžimas. Aibė F ⊂ X vadinama uždara, jei \overline{F} = F, (t.y., jei jai priklauso visi jos

ribiniai taškai). 1.10. Pavyzdžiai. 1) Bet kokios aibės A ⊂ X uždarinys \overline{A} – uždara aibė, nes, remiantis 1.8.3

savybe, \overline{\overline{A}} = \overline{A}.

2) Visos baigtinės aibės uždaros, nes jos neturi ribiniu_{‘} tašku_{‘} (1.7.1 pavyzdys).

3) Uždarasis rutulys – uždara aibė. I_{‘}sitikinsime, kad rutulys \overline{B}(x, r) neturi jam nepriklausančiu_{‘} ribiniu_{‘} tašku_{‘}. Imkime bet koki_{‘} taška_{‘} y ∉ \overline{B}(x, r) ir pažymėkime ε := d(y, x) − r > 0. Tada

\begin{aligned}z ∈ U_{ε}(y) & ⟹ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < d(x, z) + ε \\ & ⟹ d(x, z) > d(y, x) − ε = r ⟹ z ∉ \overline{B}(x, r). \end{aligned}

Tai reiškia, kad U_{ε}(y) ∩ \overline{B}(x, r) = ∅ ir todėl y ∉ \overline{\overline{B}(x, r)}.

4) Aibė

\begin{aligned}×_{i=1}^{k}[a_{i}, b_{i}] : & = [a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × ⋯ × [a_{k}, b_{k}] \\ & = \{x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{k}) : x_{i} ∈ [a_{i}, b_{i}], i = 1, …, k\} \end{aligned}

vadinama k-mate uždara_{‘}ja gardele arba k-mačiu uždaruoju gretasieniu (erdvėje IR^{k}). Tai – uždara aibė (patikrinama panašiai, kaip 3)-iajame pavyzdyje).

Kai k = 1, 2, 3, k-matė uždaroji gardelė yra atitinkamai uždarieji intervalas, stačiakampis ir stačiakampis gretasienis.

1.11. Teiginys (Uždaru_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} savybės).

1) Bet kokios uždaru_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} sistemos {F_{α}, α ∈ I} sankirta ⋂_{α∈I} F_{α} – uždaroji aibė.

2) Baigtinės uždaru_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} sistemos {F_{i}, i = 1, 2, …, n} sa_{‘}junga ⋃_{i=1}^{n} F_{i} – uždaroji aibė.

Pastaba. Antroje savybėje sistemos baigtinumas – esminė sa_{‘}lyga. Pavyzdžiui, ⋃_{n≥2} [−1 + \frac{1}{n} , 1 − \frac{1}{n}] = (−1, 1).

Teiginio i_{‘}rodymas. 1) Turime

x ∈ \overline{⋂_{α∈I} F_{α}} ⟹ ∀ε > 0, U_{ε}(x) ⋂ ( ⋂_{α∈I} F_{α}) ≠ ∅

⟹ ∀ε > 0, ⋂_{α∈I} (U_{ε}(x) ⋂ F_{α}) ≠ ∅

⟹ ∀α ∈ I, ∀ε > 0, U_{ε}(x) ⋂ F_{α} ≠ ∅

⟹ ∀α ∈ I, x ∈ \overline{F_{α}} = F_{α} ⟹ x ∈ ⋂_{α∈I} F_{α}.

6 I. KELIU_{‘} KINTAMU_{‘} JU_{‘} FUNKCIJOS

Gavome, kad \overline{⋂_{α∈I} F_{α}} ⊂ ⋂_{α∈I} F_{α} ir todėl šios aibės lygios (nes visada A ⊂ \overline{A}). Taigi ⋂_{α∈I} F_{α} yra uždara.

2) Pasinaudoje_{‘} 1.8.4 savybe, gauname

\overline{⋃_{i=1}^{n} F_{i}} = ⋃_{i=1}^{n} \overline{F_{i}} = ⋃_{i=1}^{n} F_{i}.

△

1.12. Apibrėžimas. Taškas x vadinamas aibės A ⊂ X vidiniu tašku, jei ∃ ε > 0 : U_{ε}(x) ⊂ A, t.y., jei x priklauso aibei A kartu su savo (pakankamai maža) aplinka. Visu_{‘} aibės A vidiniu_{‘} tašku_{‘} aibė vadinama aibės A vidumi. Ja_{‘} žymėsime A^{∘}.

Aibė G vadinama atvira_{‘}ja, jei G^{∘} = G, t.y., jei visi jos taškai yra vidiniai.

1.13. Pavyzdžiai. 1) ∅ ir visa metrinė erdvė X – atviros aibės.

2) Atvirasis rutulys B(x, r) – atvira aibė. Iš tikru_{‘}ju_{‘}, paėme_{‘} bet koki_{‘} y ∈ B(x, r), pažymėkime ε := r − d(x, y) > 0. Tada

\begin{aligned}z ∈ U_{ε}(y) & ⟹ d(z, y) < ε ⟹ d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < ε + d(y, x) = r \\ & ⟹ z ∈ B(x, r). \end{aligned}

Taigi U_{ε}(y) ⊂ B(x, r). △ 3) k-matė atviroji gardelė

×_{i=1}^{k}(a_{i}, b_{i}) = (a_{1}, b_{1}) × (a_{2}, b_{2}) × ⋯ × (a_{k}, b_{k})

yra atviroji aibė (patikrinkite savarankiškai).

1.14. Teiginys. Aibė G ⊂ X yra atvira tada ir tik tada, kai aibė F := G^{c} = X\G yra uždara.

I_{‘} rodymas. Būtinumas. Tarkime, kad G yra atviroji aibė. Tada

\begin{aligned}x ∈ \overline{F} & ⟹ ∀ε > 0, U_{ε}(x) ∩ F ≠ ∅ ⟹ ∀ε > 0, U_{ε}(x) ⊄ G \\ & ⟹ x ∉ G^{∘} = G ⟹ x ∈ F \end{aligned}

Taigi \overline{F} ⊂ F ir todėl aibė F yra uždara.

Pakankamumas. Tarkime, kad F yra uždaroji aibė. Tada

\begin{aligned}x ∈ G & ⟹ x ∉ F = \overline{F} ⟹ ∃ε > 0 : U_{ε}(x) ∩ F = ∅ ⟹ ∃ε > 0 : U_{ε}(x) ⊂ G \\ & ⟹ x ∈ G^{∘}. \end{aligned}

Taigi G ⊂ G^{∘} ir todėl aibė G yra atvira. △ 1.15. Išvada (Atviru_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} savybės)..

1) Bet kokios atviru_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} sistemos {G_{α}, α ∈ I} sa_{‘}junga ⋃_{α∈I} G_{α} – atviroji aibė.

2) Baigtinės atviru_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} sistemos {G_{i}, i = 1, 2, …, n} sankirta ⋂_{i=1}^{n} G_{i} – atviroji aibė.

I_{‘} rodymas. 1) Pasinaudokime lygybe

⋃_{α∈I} G_{α} = ( ⋂_{α∈I} G_{α}^{c})^{c}

ir 1.11.1 bei 1.14 teiginiais .

2) I_{‘}rodymas analogiškas. △

1.16. Apibrėžimas. Atviru_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} sistema {G_{α}, α ∈ I} vadinama aibės A atviruoju denginiu, jei ⋃_{α∈I} G_{α} ⊃ A. Aibė K ⊂ X vadinama kompaktiška aibe arba kompaktu, jei kiekvienas jos atvirasis denginys {G_{α}, α ∈ I} turi baigtini_{‘} podangi_{‘} (t.y. ∃ k ∈ IN, α_{1}, α_{2}, …, α_{k} ∈ I : ⋃_{i=1}^{k} G_{α_{i}} ⊃ K).

Aibė A ⊂ X vadinama aprėžta, jei egzistuoja rutulys B(x, r) ⊃ A.

1.17. Teiginys (Kompaktišku_{‘}ju_{‘} aibiu_{‘} savybės). 1) Kiekvienas kompaktas K – uždara ir

aprėžta aibė.

2) Kompakto K uždaras poaibis F – kompaktas.

3) Kompakto K ir uždaros aibės F sankirta K ∩ F – kompaktas.

4) I_{‘} jungtu_{‘}ju_{‘} netuščiu_{‘} kompaktu_{‘} sekos {K_{n}} (K_{n} ⊃ K_{n+1}, n ∈ IN) sankirta yra netuščia aibė.

5) Kiekvienas begalinis kompakto poaibis turi bent viena_{‘} ribini_{‘} taška_{‘} (priklausanti_{‘} tam kompaktui).

I_{‘} rodymas. 1) Aprėžtumas. Kadangi ⋃_{r>0} B(x, r) = X ⊃ K, tai

∃ r_{1}, r_{2}, …, r_{n} : ⋃_{i=1}^{n} B(x, r_{i}) ⊃ K.

Pažymėkime r := max r_{i}. Tada B(x, r) = ⋃_{i=1}^{n} B(x, r_{i}) ⊃ K.

Uždarumas. Tarkime, kad x ∉ K. Su kiekvienu y ∈ K pažymėkime ε_{y} := d(x, y)/3 >

0. Tada B(x, ε_{y}) ∩ B(y, ε_{y}) = ∅, y ∈ K. Kadangi ⋃_{y∈K} B(y, ε_{y}) ⊃ K, tai

∃ y_{1}, y_{2}, …, y_{n} : ⋃_{i=1}^{n} B(y_{i}, ε_{y_{i}}) ⊃ K.

Pažymėkime ε := min ε_{y_{i}} > 0. Tada B(x, ε) = ⋂_{i=1}^{n} B(x, ε_{y_{i}}). Kadangi

B(x, ε) ∩ K ⊂ B(x, ε) ⋂ ⋃_{i=1}^{n} B(y_{i}, ε_{y_{i}}) = ⋃_{i=1}^{n} (B(x, ε) ∩ B(y_{i}, ε_{y_{i}})) = ∅,

tai ir B(x, ε) ∩ K = ∅. Tai reiškia, kad x nėra aibės K ribinis taškas, t.y. aibė K neturi jai nepriklausančiu_{‘} ribiniu_{‘} tašku_{‘}.

2) Imkime bet koki_{‘} aibės F atvira_{‘}ji_{‘} dengini_{‘} {G_{α}, α ∈ I}. Tada ⋃_{α∈I} G_{α} ∪ (X\F) ⊃ F ∪(X\F) = X ⊃ K – gavome aibės K atvira_{‘}ji_{‘} dengini_{‘}. Todėl ∃ α_{1}, α_{2}, …, α_{n} : ⋃_{i=1}^{n} G_{α_{i}}∪ (X\F) ⊃ K ⊃ F. Kadangi (X\F) ∩ F = ∅, tai ir ⋃_{i=1}^{n} G_{α_{i}} ⊃ F.

3) Remiantis 1) ir 2) savybėmis uždaroji aibė K ∩ F ⊂ K yra kompaktas.

4) Tarkime priešingai, kad ⋂_{n=1}^{∞} K_{n} = ∅. Pažymėkime G_{n} := X\K_{n}. Kadangi G_{n} – atvirosios aibės ir ⋃_{n=1}^{∞} G_{n} = X\ ⋂_{n=1}^{∞} K_{n} = X ⊃ K_{1}, tai ∃n_{1} < n_{2} < ⋯ < n_{m} : ⋃_{i=1}^{m} G_{n} = G_{n_{m}} ⊃ K_{1}. Iš čia K_{n_{m}} ∩ K_{1} = K_{n_{m}} = ∅ – gavome prieštara_{‘}.

5) Tarkime, kad begalinis kompakto K poaibis A neturi ribiniu_{‘} tašku_{‘}. Tada su visais x ∈ K galima rasti tokius ε_{x} > 0, kad U_{ε_{x}}(x) ∩ A\{x} = ∅. Pažymėkime U(x) := U_{ε_{x}}(x). Kadangi ⋃_{x∈K} U(x) ⊃ K, tai ∃ x_{1}, x_{2}, …, x_{n} : ⋃_{i=1}^{n} U(x_{i}) ⊃ K ⊃ A. Kita vertus, U(x_{i}) ∩ A ⊂ {x_{i}} ir todėl A ⊂ {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} yra baigtinė aibė – prieštara! △

1.18. Teiginys. k-matė uždaroji gardelė

×_{i=1}^{k}[a_{i}, b_{i}] := [a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × ⋯ × [a_{k}, b_{k}]

yra kompaktiška aibė erdvėje IR^{k}.

I_{‘} rodymas. Žymėjimams supaprastinti teigini_{‘} i_{‘}rodysime tik dvimačiu atveju (k = 2). Tarkime, kad dvimatė gardelė (stačiakampis) I = [a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] nėra kompaktiška aibė. Tada egzistuoja jos atvirasis denginys {G_{α}}, iš kurio negalima išrinkti atvirojo podangio. Padalinkime stačiakampi_{‘} I i_{‘} 4 lygius stačiakampius. Bent vienas iš ju_{‘} negali būti padengtas baigtiniu aibiu_{‘} iš {G_{α}} skaičiumi (priešingu atveju, apjunge_{‘} tuos 4 stačiakampius dengiančius baigtinius podangius, gautume baigtini_{‘} podangi_{‘} stačiakampiui I). Pažymėkime_{‘} ji_{‘} I^{1} ir vėl padalinkime i_{‘} 4 lygias dalis ir t.t. Te_{‘}sdami gausime stačiakampiu_{‘} seka_{‘} {I^{n}}, pasižyminčia_{‘} šiomis savybėmis:

a) I^{n} ⊃ I^{n+1}, n ∈ IN;

b) jei x, y ∈ I^{n}, tai d(x, y) ≤ 2^{−k}δ, kur δ := d(a, b) – atstumas tarp stačiakampio I priešingu_{‘} viršūniu_{‘} a = (a_{1}, a_{2}) ir b = (b_{1}, b_{2});

c) nei vieno iš stačiakampiu_{‘} I^{n} negalima padengti baigtiniu aibiu_{‘} iš {G_{α}} skaičiumi . Kartu su stačiakampiu_{‘} seka {I^{n}}, i_{‘}jungta_{‘}sias sekas sudaro ir ju_{‘} ,,kraštiniu_{‘}“ sekos

{[a_{1}^{n}, b_{1}^{n}]} bei {[a_{2}^{n}, b_{2}^{n}]}. Remiantis Kantoro i_{‘}jungtu_{‘}ju_{‘} intervalu_{‘} principu, egzistuoja x_{1} ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{1}^{n}, b_{1}^{n}] ir x_{2} ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{2}^{n}, b_{2}^{n}]. Tada x := (x_{1}, x_{2}) ∈ ⋂_{n∈IN} I^{n}. Iš atvirojo denginio {G_{α}} paimkime aibe_{‘} G_{α_{0}}, kuriai priklauso taškas x. Dėl aibės G_{α_{0}} atvirumo ∃ε > 0 : U_{ε}(x) ⊂ G_{α_{0}}. Parinke_{‘} toki_{‘} n, kad 2^{−n}δ < ε, remdamiesi b) savybe, turime I^{n} ⊂ U_{ε}(x) ⊂ G_{α_{0}}. Taigi stačiakampi_{‘} I^{n} galima padengti viena aibe iš atvirojo denginio {G_{α}} – tai prieštarauja c) savybei. △

1.19. Išvados. 1) Aibė A ⊂ IR^{k} yra kompaktiška tada ir tik tada, kai ji yra uždara ir aprėžta.

2) (Vejerštraso teorema) Kiekviena aprėžta begalinė aibė A ⊂ IR^{k} turi bent viena_{‘} ribini_{‘} taška_{‘}.

Šie teiginiai nėra teisingi bet kokios metrinės erdvės X atveju. Pavyzdžiui, \overline{B}(x, r) nėra kompaktiška aibė erdvėje C[a, b], o aprėžta funkciju_{‘} aibė {x_{n}(t) := t^{n}, t ∈ [0, 1], n ∈ IN} erdvėje C[0, 1] neturi ribiniu_{‘} tašku_{‘} (pabandykite tuo i_{‘}sitikinti).

I_{‘} rodymas. 1) Būtinumas jau i_{‘}rodytas (1.17.1 teiginys). Pakankamumu i_{‘}sitikiname patalpindami aibe_{‘} A pakankamai didelėje k-matėje uždarojoje gardelėje I (tai i_{‘}manoma dėl jos aprėžtumo) ir pasinaudodami 1.17.2 teiginiu.

2) I_{‘}rodymas – praktiškai toks pats kaip vienamačiu atveju. Tarkime, kad aibė A neturi ribinio taško. Patalpine_{‘} ja_{‘} (pakankamai didelėje) k-matėje uždarojoje gardelėje I, kuri, remiantis pirma_{‘}ja dalimi, yra kompaktiška. Tada kiekvienam taškui x ∈ K atsiras toks ε_{x} > 0, kad U_{ε_{x}}(x) ∩ A ⊂ {x}. Pažymėkime U(x) := U_{ε_{x}}(x). Kadangi ⋃_{x∈K} U(x) ⊃ K, tai atsiras tokie x^{1}, x^{2}, …, x^{m}, kad ⋃_{i=1}^{m} U(x^{i}) ⊃ K ⊃ A. Todėl

A = ⋃_{i=1}^{m} U(x_{i}) ∩ A = ⋃_{i=1}^{m} (U(x^{i}) ∩ A) ⊂ ⋃_{i=1}^{m}{x^{i}} = {x^{1}, x^{2}, …, x^{m}},

t.y. A – baigtinė aibė, ir gavome prieštara_{‘}. △

1.20. Apibrėžimas. Sakysime, kad seka {x^{n}} = {x^{n}, n ∈ IN} ⊂ X turi riba_{‘} x ∈ X (arba konverguoja i_{‘} x, arba artėja prie x), jei d(x^{n}, x) → 0, n → ∞, t.y., jei

∀ε > 0, ∃N ∈ IN : d(x^{n}, x) < ε, kai n > N.

Tokiu atveju rašysime: lim_{n→∞} x^{n} = x, arba x^{n} → x, n → ∞.

Sakoma, kad seka {x^{n}} yra Koši seka erdvėje X, jei

∀ε > 0, ∃N ∈ IN : d(x^{n}, x^{m}) < ε, kai n, m > N.

Metrinė erdvė X vadinama pilna, jei kiekviena jos elementu_{‘} Koši seka konverguoja (i_{‘} koki_{‘} nors erdvės X elementa_{‘}).^{3} 1.21. Teiginys. 1) Tarkime, kad {x^{n}} ⊂ IR^{k}. Tada

3 Kitaip tariant, jei toje erdvėje galioja seku_{‘} konvergavimo Koši kriterijus.

(a) IR^{k} ∋ x^{n} → x, n → ∞ ⟺ x_{i}^{n} → x_{i}, i = 1, …, k.

(b) {x^{n}} ⊂ IR^{k} – Koši seka ⟺ ∀ i, {x_{i}^{n}} ⊂ IR^{k} – Koši seka;

(c) seka {x^{n}} ⊂ IR^{k} aprėžta ⟺ ∀ i, seka {x_{i}^{n}} ⊂ IR^{k} aprėžta;

2) (Koši kriterijus) Erdvė IR^{k} – pilna metrinė erdvė;

3) Aibė F ⊂ X yra uždara tada ir tik tada, kai su kiekviena konverguojančia seka

{x^{n}} ⊂ F jos riba lim_{n→∞} x^{n} ∈ F.

I_{‘} rodymas. 1) Visu_{‘} trys savybės akivaizdžiai išplaukia iš nelygybės

|x_{i} − y_{i}| ≤ d(x, y) = ( ∑_{j=1}^{k}(x_{j} − y_{j})^{2})^{1/2}, i = 1, …, k,

teisingos su visais x, y ∈ IR^{k}.

2) išplaukia iš pirmosios teiginio dalies savybiu_{‘}. Iš tikru_{‘}ju_{‘}, jei {x^{n}} ⊂ IR^{k} – Koši seka, tai ((b) savybė) su visais i = 1, …, k skaičiu_{‘} sekos {x_{i}^{n}} yra Koši sekos ir todėl, remiantis skaičiu_{‘} seku_{‘} konvergavimo Koši kriterijumi, konverguoja. i koki_{‘} nors elementa_{‘} x_{i}. Tada ((a) savybė) x^{n} → x := (x_{1}, x_{2}, …, x_{k}).

4) Būtinumas. Imkime bet kokia_{‘} konverguojančia_{‘} seka_{‘} {x^{n}} ⊂ F ir pažymėkime x = lim_{n→∞} x^{n} Su bet kokiu ε > 0 egzistuoja toks N ∈ IN, kad x^{n} ∈ U_{ε}(x), kai n ≥ N, t.y. x^{n} ∈ U_{ε}(x) ∩ F, kai n ≥ N. Taigi ∀ ε > 0, U_{ε}(x) ∩ F ≠ ∅ ⟹ x ∈ \overline{F} = F.

Pakankamumas. Imkime bet koki_{‘} taška_{‘} x ∈ \overline{F}. Su kiekvienu n ∈ IN aibė U_{\frac{1}{n}} (x)∩F ≠ ∅. Todėl su kiekvienu n ∈ IN atsiras bent vienas taškas x^{n} ∈ U_{\frac{1}{n}} (x) ∩ F. Tada \{x^{n}\} ⊂ F ir d(x^{n}, x) < \frac{1}{n} → 0, t.y. x = lim_{n→∞} x^{n}. Pagal prielaida_{‘} x ∈ F. Taigi \overline{F} ⊂ F ir todėl F – uždara aibė. △