\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{inputenc}
\usepackage[T1,LT]{fontenc}
\inputencoding{cpRIM}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-2 cm}
\addtolength{\textheight}{2.5cm}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\RR}{\overline{\mathbb{R}}}
\newcommand{\BDD}{\mathrm{BDD}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\divides}{\vdots}
% Maybe be consistent with Lithuanian traditions?
%\renewcommand{\tan}{\mathrm{tg}}
%\renewcommand{\arctan}{\mathrm{arctg}}
%\renewcommand{\cot}{\mathrm{ctg}}
%\renewcommand{\arccot}{\mathrm{arcctg}}
\newcommand{\arccot}{\mathrm{arccot}}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}

\newtheorem{ap}{Apibr��imas}[section]
\newtheorem{tg}[ap]{Teiginys}
\newtheorem{tgg}[ap]{Teiginiai}
\newtheorem{tr}[ap]{Teorema}
\newtheorem{lm}[ap]{Lema}
\newtheorem{ps}[ap]{Pastaba}
\newtheorem{pss}[ap]{Pastabos}
\newtheorem{isv}[ap]{I�vada}
\newtheorem{pvz}[ap]{Pavyzdys}
\newtheorem{pvzz}[ap]{Pavyzd�iai}

\newenvironment{ps*}{\noindent\textbf{Pastaba}\begin{em}}{\end{em}}
\newenvironment{pss*}{\noindent\textbf{Pastabos}\begin{em}}{\end{em}}
\newenvironment{pvz*}{\noindent\textbf{Pavyzdys}\begin{em}}{\end{em}}
\newenvironment{pvzz*}{\noindent\textbf{Pavyzd�iai}\begin{em}}{\end{em}}

%\newcommand{\Def}[1]{\emph{#1}}
%\newcommand{\Def}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\Def}[1]{\textnormal{\textsf{#1}}}
%\newcommand{\Def}[1]{\textbf{#1}}
\newcommand{\Def}[1]{\textnormal{\textbf{#1}}}

\hyphenation{va-di-na-ma se-kos re-lia-ty-viai me-tri-ka}

\title{Matematin�s analiz�s konspektai \\ (be �rodym�)}
\author{Marius Gedminas \\ pagal V.~Mackevi�iaus paskaitas}
\date{1998~m. rudens semestras (I kursas)}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\nouppercase{\leftmark}}
\chead{}
\rhead{\nouppercase{\rightmark}}
\lfoot{Matematin�s analiz�s konspektai}
\cfoot{\thepage}
\rfoot{\copyright~M.~Gedminas, 1998~11~11 -- 1999~01~10}

\begin{document}
\maketitle

%Rekomenduojama literat�ra
%...

%\setcounter{section}{-1}
%\section{Aib�s ir funkcijos}						% 0
%...

\section{Realieji skai�iai}						% 1

\begin{ap}								% 1.1
U�dar�j� interval� seka $[a_n, b_n]$, $n = 1, 2, \ldots$ vadinama
\Def{�d�t�j� u�dar�j� interval� seka}, jei $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$,
$n \in \N$.
\end{ap}

\begin{tg}[�d�t�j� interval� principas (aksioma)]			% 1.2
Bet kokios �d�t�j� u�dar�j� interval� sekos sankirta -- netu��ia aib�
(\/$\exists c \in \R \quad \forall n \in \N, c \in [a_n, b_n]$\/).
\end{tg}

\begin{ps*}
Vien racionaliesiems skai�iams �is principas neteisingas. Pvz.,
\[ [1.4, 1.5] \supset [1.41, 1.42] \supset \ldots \]
\[ \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = \{\sqrt{2}\} \not\in \Q \]
\end{ps*}

\begin{ps*}
Interval� u�darumas yra svarbus dalykas. Pvz.,
\[ {\textstyle
%  \left(0, \frac{1}{n+1}\right) \in \left(0, \frac{1}{n}\right)}%
   (0, \frac{1}{n+1}) \in \left(0, \frac{1}{n}\right)}%
   \textrm{, bet }
   \bigcap_{n=1}^{\infty} {\textstyle \left(0, \frac{1}{n}\right) = \emptyset}
\]
\end{ps*}

\begin{ap}								% 1.3
Aib� $A \subset \R$ vadinama \Def{apr��ta i� vir�aus}, jei $\exists c
\in \R$ toks, kad $\forall x \in A, x \le c$. $c$ vadinamas aib�s
\Def{vir�utiniu r��iu}. Aib�s $A \subset \R$ ma�iausias vir�utinis
r��is, jei jis egzistuoja, vadinamas aib�s $A$ \Def{tiksliuoju vir�utiniu
r��iu} ir �ymimas $\sup A$ (``supremum $A$'').

Aib� $A \subset \R$ vadinama \Def{apr��ta i� apa�ios}, jei $\exists c
\in \R$ toks, kad $\forall x \in A, x \ge c$. $c$ vadinamas aib�s
\Def{apatiniu r��iu}. Aib�s $A \subset \R$ ma�iausias apatinis r��is,
jei jis egzistuoja, vadinamas aib�s $A$ \Def{tiksliuoju apatiniu
r��iu} ir �ymimas $\inf A$ (``infimum $A$'').
\end{ap}

\begin{tr}[Tiksli�j� r��i� egzistavimas]				% 1.4
Kiekviena netu��ia apr��ta i� vir�aus (apa�ios) ai\-b� $A \subset \R$ turi
tiksl�j� vir�utin� (apatin�) r���.
\end{tr}

\begin{ps}								% 1.5
Susitarsime ra�yti $\sup A = +\infty$ $(\inf A = -\infty)$, jei A n�ra
apr��ta i� vir�aus (apa�ios).
\end{ps}

\begin{tr}[Borelio-Lebego teorema apie baigtin� dengin�]		% 1.6
Jei atvir�j� interval� sistema $\{ \mathcal{G}_{\alpha}: \alpha \in I \}$ dengia
interval� $[a, b]$ (t.y. $\bigcup_{\alpha \in I} \mathcal{G}_{\alpha} \supset [a, b]$),
tai egzistuoja posistemis $\{ \mathcal{G}_{\alpha_1}, \ldots, \mathcal{G}_{\alpha_r} \}$, taip
pat dengiantis �� interval�.
\end{tr}

\begin{ps*}
Tiek atvir�j� interval� sistema, tiek u�daras intervalas yra b�tini dalykai
teoremoje ir j� negalima atsisakyti. Pvz.,
\[ \bigcup_{n \in \N} {\textstyle \left[0, 1-\frac{1}{n}\right]} 
   \cup [1, 2] \supset [0, 2],
\] 
bet i� gautos sistemos negalime i�rinkti baigtinio posistemio, kuris dengt�
interval� $[0, 2]$.
\end{ps*}

\section{Sekos riba}							% 2

\begin{ap}								% 2.1
Sakoma, kad seka $(x_n)$ turi rib� $x \in \R$, jei su visais (``kiek
norima ma�ais'') $\eps > 0$ atsiras $N \in \N$, kad $|x_n - x| < \eps$,
kai $n > N$ (``$x_n$ yra kiek norima arti x su pakankamai dideliais n'').
Tokiu atveju �ymima
\[ \lim_{n \to \infty} x_n = x \]
\[ \lim_n x_n = x \]
\[ \lim x_n = x \]
\[ x_n \to x, n \to \infty \]
\end{ap}

\begin{ps*}
Vietoje $N \in \N$ galime imti $N \in \R$.
\end{ps*}

\begin{pvzz}~\par							% 2.2
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle x_n = \frac{1}{n}$, $\lim x_n = 0$
  \item[1'] $\displaystyle x_n = \frac{1}{n^3 + 5n^2 + 7n + 2}$, $\lim x_n = 0$
  \item $\displaystyle x_n = \frac{19 \sin n - 98 \cos^3 n}{\sqrt{n}}$, $\lim x_n = 0$
  \item $x_n = \sqrt{n}$. Seka diverguoja (neturi baigtin�s ribos)
  \item $x_n = (-1)^n$. Seka diverguoja (neturi ribos)
  \item $\left\{[a_n, b_n]\right\}$ -- �d�t�j� u�dar�j� interval� seka,
        $b_n - a_n \to 0$, kai $n \to \infty$. Remiantis �d�t�j� interval�
	principu, $\exists c \in \displaystyle \bigcap_{n \in \N} [a_n, b_n]$. Tada
	$\lim a_n = \lim b_n = c$
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 2.3
Skai�i� seka $(x_n)$ vadinama \Def{apr��ta} (\Def{apr��ta i� vir�aus}, 
\Def{apr��ta i� apa�ios}), jei $\exists M \in \R: |x_n| \le M, n \in \N)$
(atitinkamai $x_n \le M, n \in \N$, $x_n \ge M, n \in \N$).
\end{ap}

\begin{tgg}~\par							% 2.4
\begin{enumerate}
  \item Kiekviena konverguojanti seka yra apr��ta.
  \item Seka gali tur�ti ne daugiau kaip vien� rib�.
\end{enumerate}
\end{tgg}

\begin{tr}[Veiksmai su ribomis]						% 2.5
Tarkime, kad $\lim x_n = x$ ir $\lim y_n = y$. Tada
\begin{enumerate}
  \item $\lim (x_n + y_n) = x + y$
  \item $\lim (x_n \cdot y_n) = x \cdot y$
  \item Jei $y \neq 0$, tai $\displaystyle \lim \frac{x_n}{y_n} = \frac{x}{y}$
\end{enumerate}
\end{tr}

\begin{tg}[Per�jimas prie ribos nelygyb�se]~\par			% 2.6
\begin{enumerate}
  \item Jei $x_n \to x$, $y_n \to y$ ir $x < y$, tai $\exists N \in \N:
        x_n < y_n$, kai $n > N$.\\
	Atskiru atveju, jei $y_n \to y$ ir $y > 0$, tai $\exists N \in \N:
        y_n > 0$, kai $n > N$.
  \item Jei $x_n \le y_n$, $n \in \N$ ir $x_n \to x$, $y_n \to y$, tai
        $x \le y$
  \item \Def{(Dviej� policinink� principas)}  Jei $x_n \le z_n \le y_n$ ir
        $x_n \to x$, $y_n \to x$, tai $z_n \to x$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 2.7
\begin{enumerate}
  \item I� $x_n < y_n$, $x_n \to x$, $y_n \to y$ nei�plaukia $x < y$! Pvz.,
        $\forall n: 0 < \frac{1}{n}$. Tada $x = \lim x_n = y = \lim y_n = 0$.
  \item \[ z_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \cdots +
           \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}, n \in \N \].
	\[ 1 \gets \frac{n}{n+1} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 2n + 1}} \le z_n \le
	   \frac{n}{\sqrt{n^2}} = 1 \to 1 \]
	Taigi, $z_n \to 1$.
	
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 2.8
Sakykime, turim sek� $(x_n)$. Imkime did�jan�i� nat�rali�j� skai�i� sek� 
$(n_k)$, $k \in \N$. Tada seka $(x_{n_k})$ vadinama sekos $(x_n)$ \Def{posekiu}
(arba \Def{daline seka}). Jei sekos $(x_n)$ posekis turi rib� $x$, tai $x$
vadinama sekos $(x_n)$ \Def{daline riba}.
\end{ap}

\begin{ps*}
Jei seka $(x_n)$ turi rib� $x$, tai visi jos posekiai turi t� pa�i� rib�.
\end{ps*}

\begin{tg}[Vejer�traso teorema apie konverguojant� posek�]		% 2.9
Kiekviena apr��ta seka turi konverguojant� posek�.
\end{tg}

\begin{tr}[Sekos konvergavimo Ko�i kriterijus]				% 2.10
Tarkime, turime sek� $(x_n)$. Tada �ie du teiginiai ekvivalent�s:
\begin{enumerate}
  \item Seka $(x_n)$ konverguoja
  \item $\forall \eps > 0 \quad \exists N \in \N: |x_n - x_m| < \eps$, kai
        $n, m > N$
\end{enumerate}
\end{tr}

\begin{pss*}
\begin{enumerate}
  \item Sekos $(x_n)$, pasi�ymin�ios antra savybe, vadinamos
        \Def{fundamentaliosiomis} arba \Def{Ko�i sekomis}. Erdv�s,
	kuriose kiekviena Ko�i seka konverguoja, vadinamos \Def{pilnomis}.
	Taigi, �i teorema teigia, kad $\R$ yra pilna erdv�.
  \item Antrasis teiginys da�nai u�ra�omas taip:
        \[ |x_n - x_m| \to 0 \textrm{, kai } n, m \to \infty \]
\end{enumerate}
\end{pss*}

\begin{pvzz}~\par							% 2.11
\begin{enumerate}
  \item $ x_n = \frac{\cos 1}{2} + \frac{\cos 2}{2^2} + \frac{\cos 3}{2^3} + 
          \cdots + \frac{\cos n}{2^n}, n \in \N $
	Seka turi rib� remiantis Ko�i kriterijumi.
  \item $x_n = (-1)^n, n \in \N$. Seka diverguoja.
  \item $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$. Seka diverguoja.
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 2.12
Sek� $(x_n)$ vadinsime
\begin{enumerate}
  \item \Def{did�jan�ia}, jei $\forall n \in \N \quad x_{n+1} \ge x_n$.
  \item \Def{grie�tai did�jan�ia}, jei $\forall n \in \N \quad x_{n+1} > x_n$.
  \item \Def{ma��jan�ia}, jei $\forall n \in \N \quad x_{n+1} \le x_n$.
  \item \Def{grie�tai ma��jan�ia}, jei $\forall n \in \N \quad x_{n+1} < x_n$.
\end{enumerate}
\end{ap}

\begin{tg}								% 2.13
Did�janti (ma��janti) seka $(x_n)$ konverguoja tada, ir tik tada, kai ji
yra apr��ta i� vir�aus (apa�ios). Tokiu atveju $\lim x_n = \sup \{ x_n \}$
(\/$\inf \{ x_n \}$\/).
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 2.14
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle x_n = \frac{n}{q^n}, \qquad |q| > 1$. $\lim x_n = 0$.
  \item $\lim \sqrt[n]{n} = 1$
  \item[2'] $\lim \sqrt[n]{a} = 1, \qquad a > 0$
  \item $\displaystyle \lim \frac{q^n}{n!} = 0, \qquad q \in \R$
  \item $\displaystyle \lim \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 2.15
\Def{I�pl�stine reali�j� skai�i� tiese} vadiname aib� 
$\RR := \R \cup \{+\infty, -\infty\}$
su tokiais papildomais s�ry�iais:
\begin{enumerate}
  \item $-\infty < x < +\infty, \qquad x \in \R$
  \item $x + (\pm \infty) = (\pm \infty) + x = \pm \infty, \qquad x \in \R$
  \item $x \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot x = \left\{\begin{array}{ll}
         \pm \infty & x > 0 \\
	 \mp \infty & x < 0
         \end{array}\right., \qquad x \in \R \setminus \{0\}$
\end{enumerate}
\end{ap}

\begin{ap}								% 2.16
Turime sek� $(x_n)$. Sakysime, kad
\begin{enumerate}
  \item $\lim x_n = +\infty$, jei $\forall \Delta \in \R \quad \exists N \in \N$,
        toks, kad $x_n > \Delta$, kai $n > N$.
  \item $\lim x_n = -\infty$, jei $\forall \Delta \in \R \quad \exists N \in \N$,
        toks, kad $x_n < \Delta$, kai $n > N$.
  \item $\lim x_n = \infty$, jei $\lim |x_n| = +\infty$.
\end{enumerate}
\end{ap}

\begin{pss}~\par							% 2.17
\begin{enumerate}
  \item Baigtini� ir begalini� rib� apibr��imus galima unifikuoti
        naudojant ta�ko aplinkos s�vok�.
	
	Ta�ko $x \in \R$ \Def{$\eps$-aplinka} vadinamas intervalas $(x-\eps,
	x+\eps)$. Ji �ymima $U_\eps(x)$. $y \in U_\eps(x) \Longleftrightarrow
	|y - x| < \eps$.
	
	Ta�ko $+\infty$ \Def{$\Delta$-aplinka} vadinamas intervalas $(\Delta,
	+\infty]$. �ymima $U_\Delta(+\infty)$.
	
	Ta�ko $-\infty$ \Def{$\Delta$-aplinka} vadinamas intervalas $[-\infty,
	\Delta)$. �ymima $U_\Delta(-\infty)$.
	
	Tada $\lim x_n = x \quad \Longleftrightarrow \quad \forall U(x) \quad
	\exists N \in \N \quad x_n \in U(x)$, kai $n > N$.
  \item Monotoni�ka seka i�pl�stin�je reali�j� skai�i� ties�je visada turi
        rib� (baigtin� arba begalin�).
  \item Dalin�s ribos s�voka turi pram� ir begalini� rib� atveju.
        Tod�l ties�je $\RR$ bet kokia seka turi bent vien� dalin� rib�.
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{tg}								% 2.18
Turime sekas $(x_n)$ ir $(y_n)$, $x_n, y_n \in \R$. Tada
\begin{enumerate}
  \item Jei $x_n \to +\infty$ ir $y_n \ge c \in \R$, $n \in \N$, tai
        $x_n + y_n \to +\infty$.\\
	Atskiru atveju, jei $x_n \to +\infty$ ir $y_n \to y \in \R$ 
	(arba $y = +\infty$\/), tai $x_n + y_n \to +\infty$.
  \item[1'] Jei $x_n \to -\infty$ ir $y_n \le c \in \R$, tai
	$x_n + y_n \to -\infty$.  
  \item
    \begin{enumerate}
      \item Jei $x_n > 0$, tai $\lim x_n = +\infty$ tada, ir tik tada, kai
            $\lim \frac{1}{x_n} = 0$.
      \item Jei $x_n < 0$, tai $\lim x_n = -\infty$ tada, ir tik tada, kai
            $\lim \frac{1}{x_n} = 0$.
    \end{enumerate}
  \item Jei $x_n \to +\infty$ ir $\forall n \in \N \quad x_n \le y_n$, tai
        $y_n \to +\infty$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ap}								% 2.19
Sekos $(x_n)$, $x_n \in \RR$, \Def{apatine} ir \Def{vir�utine ribomis} 
vadinami skai�iai 
\[ i = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \ge n} x_k = 
      \lim_{n \to \infty} \inf \{x_n, x_{n+1}, \ldots \} \] ir
\[ s = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} x_k = 
     \lim_{n \to \infty} \sup \{x_n, x_{n+1}, \ldots \} \]
	    
�ymima: 
  \[\liminf_{n \to \infty} x_n = i\] 
  \[\limsup_{n \to \infty} x_n = s\]

Apatin� ir vir�utin� ribos visada egzistuoja, nes sekos $i_n =
\inf \{x_n, x_{n+1}, \ldots \}$ ir $s_n = \sup \{x_n, x_{n+1}, \ldots \}$
yra monotoni�kos.
\end{ap}

\begin{pvzz}~\par							% 2.20
\begin{enumerate}
  \item $x_n = (-1)^n$. $\liminf x_n = -1$, $\limsup x_n = 1$.
  \item $x_n = (-1)^n \cdot n$. $\liminf x_n = -\infty$, $\limsup x_n = +\infty$.
  \item $x_n = n^{(-1)^n}$. $\liminf x_n = 0$, $\limsup x_n = +\infty$.
  \item $x_n = n$. $\liminf x_n = +\infty$, $\limsup x_n = +\infty$.
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}								% 2.21
Apatin� ir vir�utin� sekos ribos yra lygios ma�iausiai ir did�iausiai tos
sekos dalin�ms riboms
\end{tg}

\begin{isv}								% 2.22
Seka $(x_n)$ turi rib� tada, ir tik tada, kai $\liminf x_n = \limsup x_n$.
Tokiu atveju $\lim x_n = \liminf x_n = \limsup x_n$.
\end{isv}

\section{Skai�i� eilut�s}						% 3

\newcommand{\meil}[1]{\sum_{n=1}^{\infty} #1_n}
\newcommand{\eil}[1]{\(\sum_{n=1}^{\infty} #1_n\)}
\newcommand{\meiln}[1]{\sum_{n=0}^{\infty} #1_n}
\newcommand{\eiln}[1]{\(\sum_{n=0}^{\infty} #1_n\)}

\begin{ap}								% 3.1
\Def{Skai�i� eilute} vadinamas rei�kinys 
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots, \qquad 
  \forall n \quad a_n \in \R \]
  
Sekos $(a_n)$ nariai vadinami eilut�s \eil{a} \Def{nariais}.

Skai�iai $S_N := \sum_{n=1}^{N} a_n$, $N \in \N$ vadinami eilut�s
\Def{dalin�mis sumomis}.

Jei $\exists S := \lim_{N \to \infty} S_N$, tai $S$ vadinamas \Def{eilut�s
suma} ir ra�oma
\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

Jei $S \in \R$ (t.y. suma baigtin�), tai sakoma, kad eilut�s suma
\Def{konverguoja}, prie�ingu atveju (kai suma begalin� arba neegzistuoja) --
\Def{diverguoja}
\end{ap}

\begin{tgg}~\par							% 3.2
\begin{enumerate}
  \item \Def{(Eilu�i� konvergavimo Ko�i kriterijus)}
  
        Eilut� \eil{a} konverguoja tada, ir tik tada, kai
	\[ \forall \eps > 0 \quad \exists N_0 \in \N \quad
	   \left|\sum_{n=N+1}^{M} a_n\right| < \eps \quad \textrm{kai } M > N > N_0 \]
  \item \Def{(B�tinoji eilut�s konvergavimo s�lyga)}
  
        Jei eilut� \eil{a} konverguoja, tai $a_n \to 0, \quad n \to \infty$.
  \item Jei $a_n \ge 0$, $n \in \N$, tai \eil{a} konverguoja tada, ir tik
        tada, kai jos dalini� sum� seka $(S_N)$ yra apr��ta.
\end{enumerate}
\end{tgg}

\begin{ps}								% 3.3
Jei $a_n \ge 0$, tai eilut� \eil{a} visada turi sum� -- baigtin� arba
begalin� (\/$+\infty$\/), tod�l eilutei \eil{a} su $a_n \ge 0$ prasminga
ra�yti $\meil{a} < +\infty$, kai ji konverguoja, ir $\meil{a} = +\infty$,
kai ji diverguoja.
\end{ps}

\begin{pvzz}~\par							% 3.4
\begin{enumerate}
  \item \( \displaystyle
           \sum_{n=1}^{\infty} x^n = 
	     \left\{\begin{array}{ll}
                \frac{x}{1-x}	& \textrm{kai } |x| < 1 \\
		+\infty		& \textrm{kai } x \ge 1 \\
		\textrm{neapibr��ta}	& \textrm{kai } x \le -1
	     \end{array}\right. \)
  \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ diverguoja.
  \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = +\infty$ (diverguoja).
  \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \le 2$ (konverguoja).
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tgg}[Eilu�i� palyginimas]~\par					% 3.5
\begin{enumerate}
  \item Jei $|a_n| \le c_n$, $n \in \N$ ir $\meil{c} < +\infty$, tai 
        \eil{a} konverguoja.
  \item Jei $0 \le d_n \le a_n$, $n \in \N$ ir $\meil{d} = +\infty$, tai
        $\meil{a} = +\infty$ (diverguoja).
  \item Tarkime, kad $a_n \ge 0$, $b_n \ge 0$, $n \in \N$ ir $\exists
        \alpha := \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \in [0, +\infty]$.
	
	Jei $\alpha < +\infty$ ir $\meil{b} < +\infty$, tai $\meil{a} < +\infty$.
	
	Jei $\alpha > 0$ ir $\meil{b} = +\infty$, tai $\meil{a} = +\infty$.
	
	Kitaip tariant, jei $\alpha \in (0, +\infty)$, tai \eil{a} ir \eil{b}
	arba abi konverguoja, arba abi diverguoja.
\end{enumerate}
\end{tgg}

\begin{lm}								% 3.6
Tarkime, $a_n \ge a_{n+1} \ge 0$, $n \in \N$. Tokiu atveju $\meil{a} < +\infty$ 
tada, ir tik tada, kai $\sum_{k=1}^{\infty} 2^k a_{2^k} < +\infty$.
\end{lm}

\begin{pvzz}~\par							% 3.7
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle
         \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} < +\infty \quad \Longleftrightarrow
         \quad p > 1$
  \item $\displaystyle
         \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^p n} < +\infty \quad \Longleftrightarrow
         \quad p > 1$
	
	$\displaystyle
	 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n \ln^p \ln n} < +\infty \quad \Longleftrightarrow
         \quad p > 1$ 
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}								% 3.8
\[
   e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3!} +
       \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots
\]
\end{tg}

\begin{tg}[Eilut�s konvergavimo Ko�i po�ymis]				% 3.9
Bet kokiai eilutei \eil{a} pa�ym�sime $\alpha := \limsup \sqrt[n]{|a_n|}$.
\begin{enumerate}
  \item Jei $\alpha < 1$, tai eilut� \eil{a} konverguoja;
  \item Jei $\alpha > 1$, tai eilut� \eil{a} diverguoja;
  \item Yra tiek konverguojan�i�, tiek diverguojan�i� eilu�i�, kurioms
        $\alpha = 1$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{tg}[Eilut�s konvergavimo Dalambero po�ymis]			% 3.10
Sakykime, \eil{a} yra eilut� su $a_n \ne 0$, $n \in \N$.
\begin{enumerate}
  \item Jei $\alpha := \limsup \left|\frac{a_n+1}{a_n}\right| < 1$, tai 
        eilut� \eil{a} konverguoja;
  \item Jei $\exists N \in \N \quad \left|\frac{a_n+1}{a_n}\right| \ge 1 $,
        kai $n > N$, tai eilut� \eil{a} diverguoja
	(tam pakanka $\liminf \left|\frac{a_n+1}{a_n}\right| > 1$);
  \item Yra tiek konverguojan�i�, tiek diverguojan�i� eilu�i�, kurioms
        $\lim \left|\frac{a_n+1}{a_n}\right| = 1$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 3.11
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ konverguoja (Dalamberas arba
        Ko�i).
  \item $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
         + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \cdots$ konverguoja (Ko�i;
        Dalamberas atsakymo neduoda).
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ps*}
Ko�i po�ymis stipresnis: jei Ko�i po�ymis neduoda atsakymo, tai neduos
ir Dalambero.
\end{ps*}

\begin{tg}[Eilut�s konvergavimo Abelio-Dirichl� po�ymis]		% 3.12
Tarkime, kad a) eilut�s \eil{a} dalini� sum� seka yra apr��ta:
\[ |A_n| \le M, \quad n \in \N, \quad M < +\infty \]
b) $b_n \ge b_n - 1 \ge 0$, $n \in \N$,
c) $\lim b_n = 0$.  
Tada eilut� $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ konverguoja.
\end{tg}

\begin{pss*}
\begin{enumerate}
  \item Kai i�pildytos s�lygos b) ir c), da�nai sakoma, kad $b_n$
        \Def{monotoni�kai art�ja} � nul� (�ymima $b_n \downarrow 0$
	arba $\lim_{n \to \infty} \downarrow b_n = 0$\/).
  \item Yra prasm� naudoti �i po�ym� tik tada, kai $a_n$ nariai �gyja
        skirtingus �enklus be galo daug kart�.
\end{enumerate}
\end{pss*}

\begin{isv}[Leibnico teorema]						% 3.13
Jei $b_n \downarrow 0$, $n \to \infty$, tai eilut� $\sum_{n=1}^{\infty}
(-1)^{n+1} b_n$ konverguoja.
\end{isv}

\begin{pvzz}~\par							% 3.14
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ konverguoja, kai 
          $x \in [-1, 1)$
        (Dalambero po�ymis, kai $|x| \ne 1$, Leibnico teorema, kai $x = -1$,
	 harmonin� eilut�, kai $x = 1$).
  \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \frac{\pi n}{4}}{\ln(n+1)}$ konverguoja
        (Abelio-Dirichl� po�ymis).
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 3.15
Sakoma, kad eilut� \eil{a} \Def{konverguoja absoliu�iai}, jei $\sum_{n=1}^{\infty}
|a_n| < +\infty$.

Jei \eil{a} konverguoja, o $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = +\infty$, tai sakoma,
kad eilut� \eil{a} \Def{konverguoja reliatyviai}.
\end{ap}

\begin{tg}								% 3.16
Jei eilut� konverguoja absoliu�iai, tai ji konverguoja.
\end{tg}

\begin{ap}								% 3.17
Dviej� eilu�i� \eiln{a} ir \eiln{b} sandauga vadinama eilut� \eiln{c},
kurioje $c_n = \sum_{i=0}^{n}a_i b_{n-i} = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \cdots
+ a_nb_0$.
\end{ap}

\begin{tr}[Mertenso teorema]						% 3.18
Jei $A = \meiln{a} \in \R$, $B = \meiln{b} \in \R$ ir bent viena i� �i� 
eilu�i� konverguoja absoliu�iai, tai �i� eilu�i� sandauga \eil{c}
konverguoja, o jos suma lygi $AB$.
\end{tr}

\begin{ps}								% 3.19
Abiej� eilu�i� (reliatyvaus) konvergavimo nepakanka, kad teoremos tvirtinimas
b�t� teisingas. Pvz.,
\[ \meiln{a} = \meiln{b} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n+1}} \]
J� sandaugos \eil{c} nariai
\begin{eqnarray*}
|c_n| & = & \left|\sum_{i=0}^n(-1)^i \frac{1}{\sqrt{i+1}} (-1)^{n-i}\frac{1}{\sqrt{n-i+1}}\right| \\
& = & \left| \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(i+1)(n-i+1)}} \right| \\
& = & \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(i+1)(n-i+1)}} \\
& \underbrace{\ge}_{\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}} &
  \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{\frac{i+1 + n-i+1}{2}} \\
& = & \sum_{i=0}^{n} \frac{2}{n+2} = 2 \frac{n+1}{n+2} \to 2 
\end{eqnarray*}
Nei�pildyta b�tina konvergavimo s�lyga, tad \eil{c} diverguoja.
\end{ps}

\begin{ap}								% 3.20
Tarkime, kad duota eilut� \eil{a} ir bijekcija $f: \N \to \N$. Pa�ym�kime
$\tilde{a}_n := a_{f(n)}$. Tada \eil{\tilde{a}} vadinama pradin�s eilut�s
\eil{a} \Def{perstata}.
\end{ap}

\begin{tr}								% 3.21
Jei eilut� \eil{a} konverguoja absoliu�iai, tai absoliu�iai konverguoja
ir bet kuri jos perstata, kuri be to turi t� pa�i� sum�.
\end{tr}

\begin{pss}~\par							% 3.22
\begin{enumerate}
  \item Galima �rodyti ir prie�ing� teorem� (Rymano teorem�): jei \eil{a}
        konverguoja reliatyviai, tai $\forall a \in \R \quad \exists f \quad
	\sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)} = a$.
  \item Absoliu�iai konverguojan�ios eilut�s turi ir kit� baigtin�ms sumoms
        b�ding� savybi�, pvz., jei $a_{nm} \ge 0$, $n, m \in \N$, tai
	$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} a_{nm} =
	 \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_{nm}$. �i lygyb� i�lieka
        teisinga ir su $a_{nm} \in \R$, $n, m \in \N$, jei
	$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} |a_{nm}| < +\infty$.
\end{enumerate}
\end{pss}

\section{Funkcijos riba ir tolydumas}					% 4

\begin{ap}								% 4.1
Duota funkcija $f: E \to \R$, $a \in \R$. Sakoma, kad funkcija $f$
\Def{turi rib�} $A \in \RR$ ta�ke $a$, ir ra�oma $\lim_{x \to a} f(x)
= A$, jei kiekvienai sekai $E \setminus \{a\} \owns x_n \to a$ galioja
$f(x_n) \to A$.

Kiti �ym�jimai:
\begin{itemize}
  \item	$\displaystyle \lim_{x \to a, \ x \in E} f(x) = A \quad$ (kai
	apibr��imo sritis n�ra ai�ki i� konteksto).
  \item $f(x) \to A$, $x \to a$
  \item Jei $E = (a, b)$, $a < b$, ra�oma $\lim_{x \to a+0} f(x) = A$
	(riba i� de�in�s) arba $\lim_{x \downarrow a} f(x) = A$ (i�
	vir�aus).
  \item Jei $E = (b, a)$, $b < a$, ra�oma $\lim_{x \to a-0} f(x) = A$
	(riba i� kair�s) arba $\lim_{x \uparrow a} f(x) = A$ (i�
	apa�ios).
\end{itemize}
\end{ap}

\begin{ps*}
Kad apib��imas tur�t� prasm�, turi egzistuoti bent viena tokia seka
$x_n$, sudaryta i� aib�s $E \setminus \{a\}$ element� ir art�janti
prie $a$. �iuo atveju sakoma, kad ta�kas $a$ yra \Def{ribinis} aib�s
$E$ ta�kas.
\end{ps*}

\begin{tg}\label{4.2}							% 4.2
Tarkime, $a \in \R$, $A \in \R$, $f(x): E \to \R$. Tada �ie teiginiai
ekvivalent�s:
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = A$;
  \item $\forall \eps > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad |f(x)-A| <
        \eps$, kai $0 < |x - a| < \delta$ ir $x \in E$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ps*}
�is teiginys tvirtina, kad abu ribos apibr��imai (``sek� kalba'' ir
``$\eps$-$\delta$-kalba'') yra ekvivalent�s, kai $a, A \in \R$.
\end{ps*}

\begin{ps*}
Analogi�ki teiginiai yra teisingi, ir kai $a$ ir/arba $A$ lyg�s $\pm
\infty$, imant atitinkamai t� ta�k� aplinkas vietoje $\eps$-aplink�:
\[ \forall \textrm{ ta�ko } A \textrm{ aplinkai } U(A) \quad \exists
\textrm{ ta�ko } a \textrm{ aplinka } V(a) \textrm{ tokia, kad } f(x)
\in U(A) \textrm{, kai } x \in V(a) \setminus \{ a \} \textrm{ ir } x
\in E.
\]
(Apibr��imas ``aplink� kalba'').
\end{ps*}

\begin{tgg}~\par							% 4.3
\begin{enumerate}
  \item Funkcija viename ta�ke gali tur�ti tik vien� rib�.
  \item Sakykime, $f: E \to \R$, $g: E \to \R$ ir $\lim_{x \to a} f(x) 
	= A \in \R$, o $\lim_{x \to a} g(x) = B \in \R$. Tada
	\begin{enumerate}
	  \item $\lim_{x \to a} \left( f\left(x\right) + g\left(x\right) 
	        \right) = A + B$
	  \item $\lim_{x \to a} \left( f\left(x\right) \cdot g\left(x\right) 
	        \right) = A \cdot B$
	  \item Jei, be to, $B \ne 0$, tai $\lim_{x \to a} 
		\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$
	  \item Jei $f(x) \le g(x)$, kai $x \in E \setminus \{a\}$, tai 
		$A \le B$.
	\end{enumerate}
  \item Jei $f(x) \le h(x) \le g(x)$, kai $x \in E \setminus \{a\}$, ir
        $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = A$, tai 
	$\lim_{x \to a} h(x) = A$.
  \item Jei $A < B$, tai egzistuoja ta�ko $a$ aplinka $U$, tokia, kad 
	$f(x) < g(x)$ kai $x \in U \setminus \{a\}$, $x \in E$.
\end{enumerate}
\end{tgg}

\begin{pvzz}~\par							% 4.4
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
  \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
  \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ neegzistuoja.
  \item[3'] $\displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 4.5
Sakoma, kad funkcija $f: E \to \R$ yra \Def{tolydi} ta�ke $x_0 \in E$, jei su 
kiekviena seka $E \ni x_n \to x_0$ turime $f(x_n) \to f(x_0)$, $n \to 
\infty$. Sakoma, kad funkcija $f: E \to \R$ yra tolydi aib�je $A 
\subset E$, jei ji yra tolydi visuose aib�s $A$ ta�kuose.
\end{ap}

\begin{pss}~\par							% 4.6
\begin{enumerate}
  \item Palygin� funkcijos ribos apibr��im� su tolyd�ios funkcijos 
	apibr��imu, matome, kad funkcija yra tolydi ta�ke $x_0$, kai 
	$lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, ir $x_0$ yra ribinis aib�s $E$ 
	ta�kas. Jei $x_0$ n�ra ribinis ta�kas, tai funkcija tame ta�ke 
	visada tolydi.
  \item Atsi�velgdami � \ref{4.2} teigin�, matome, kad funkcija $f: E 
	\to \R$ yra tolydi ta�ke $x_0 \in E$ tada ir tik tada, kai
	$\forall \eps > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad |f(x) - f(x_0)|
	< \eps$, kai $|x - x_0| < \delta$ ir $x \in E$.
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{tgg}~\par							% 4.7
\begin{enumerate}
  \item Jei $f: E \to \R$ ir $g: E \to \R$ yra tolyd�ios ta�ke $x_0 \in 
	E$, tai funkcijos $(f+g)$, $(fg)$ ir (jei $g(x_0) \ne 0$) 
        $\left(\frac{f}{g}\right)$ yra tolyd�ios ta�ke $x_0$.
  \item Jei funkcija $f: E \to E_1$ yra tolydi ta�ke $x_0 \in E$, o 
	funkcija $g: E_1 \to \R$ yra tolydi ta�ke $y_0 := f(x_0)$, tai
	funkcija $(g \circ f)(x) := g\left(f\left(x\right)\right)$, 
	$x \in E$ yra tolydi ta�ke $x_0$.
\end{enumerate}
\end{tgg}

\begin{pvzz}~\par							% 4.8
\begin{enumerate}
  \item $f(x) = c$, $x, c \in \R$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item $f(x) = x$, $x \in \R$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item $f(x) = x^n$, $x \in \R$, $n \in \N$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item[3'] $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 \in \R[x]$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item[3''] Kiekviena racionali funkcija $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 
        (dviej� polinom� santykis) yra tolydi visuose ta�kuose $x_0 \in 
	\R$, kuriuose $Q(x_0) \ne 0$.
  \item $f(x) = \sin x$, $x \in \R$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item $f(x) = \cos x$, $x \in \R$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item $f(x) = \tan x$, $x \in \R$ yra tolydi visuose ta�kuose, kuriuose 
	$\cos x \ne 0$.
  \item $f(x) = a^x$, $x \in \R$, $a \ge 0$, $a \ne 1$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item $f(x) = \log_a x$, $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$ yra tolydi aib�je $\R$.
  \item $f(x) = x^a$, $x > 0$, $a \in \R$  yra tolydi aib�je $\R$.
  \item I�vados:
    \begin{enumerate}
      \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = 
	    \log_a e$
	    
	    Atskiru atveju, $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(x+1)} 
	    {x} = 1$
      \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} = 
	    \alpha$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 4.9
Aib� vis� tolyd�i� funkcij� $f: E \to \R$ �ym�sime $C(E)$. Galima 
trumpinti: $C[a, b] = C([a, b])$.
\end{ap}

\begin{tg}[Bolcmano-Vejer�traso teorema apie tarpines reik�mes]		% 4.10
Sakykime, funkcija $f \in C[a, b]$, $f(a) = A$, $f(b) = B$ ir $A \le C \le B$ 
arba $B \le C \le A$. Tada $\exists c \in [a, b] \quad f(c) = C$ 
(``tolydi funkcija �gyja visas tarpines reik�mes'').
\end{tg}

\begin{tg}[Vejer�traso teorema apie maksimali� reik�m�]			% 4.11
Sakykime, $f \in C[a, b]$. Tada
\begin{enumerate}
  \item $f$ yra apr��ta intervale $[a, b]$: $\exists M \in \R \quad 
	\forall x \in [a, b] \quad |f(x)| \le M$.
  \item $\exists x_d \in [a, b] \quad f(x_d) = \max\{ f(x): x \in [a, b] \}$
        
        $\exists x_m \in [a, b] \quad f(x_m) = \min\{ f(x): x \in [a, b] \}$  
	
	(Tolydi u�darame intervale funkcija �gyja tame intervale 
	did�iausi� ir ma�iausi� reik�m�).
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ps*}
Intervalo u�darumas -- esmin� s�lyga. Pvz., $f(x) = \frac{1}{x}$, $x 
\in (0, 1]$, $f \in C(0, 1]$, bet maksimumas neegzistuoja, nes $\lim_{x 
\to 0} f(x) = +\infty$ (tiksliau, $\lim_{n \to \infty} f(\frac{1}{n}) = 
+\infty$\/).

Kitas pavyzdys: $f(x) = \frac{1}{x+1}$, $x \in (0, 1)$. $f(x) \in C(0, 
1)$, $\sup f(x) = 1$, $\inf f(x) = \frac{1}{2}$, bet neegzistuoja toks
$x_d \in (0, 1) \quad f(x_d) = 1$.
\end{ps*}

\begin{tg}[apie atvirk�tin�s funkcijos tolydum�]			% 4.12
Tarkime, $f: X \subset \R \to Y \subset \R$ ($X$ -- intervalas) yra
tolydi bijekcija. Tada
\begin{enumerate}
  \item $Y$ taip pat intervalas, be to $f$ yra monotoni�ka.
  \item $f^{-1}: Y \to X$ taip pat yra tolydi.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{isv}~\par							% 4.13
\begin{enumerate}
  \item Funkcijos $\log_n x$ (\/$x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$\/), $\arcsin 
	x$ (\/$x \in [-1, 1]$\/), $\arccos x$ (\/$x \in [-1, 1]$\/),
	$\arctan x$ (\/$x \in \R$\/) yra tolyd�ios funkcijos.
  \item Visos elementarios funkcijois yra tolyd�ios savo egzistavimo 
	srityse.
	
	\Def{elementarios funkcijos} -- daugianariai, racionaliosios
	funkcijos, trigonometrin�s ir j� atvirk�tin�s, rodyklin�, 
	logaritmin� funkcijos, bei visos i� j� padarytos funkcijos,
	naudojant aritmetinius veiksmus bei kompozicij�.
	
	\Def{egzistavimo sritis} -- aib�, kurioje funkcija turi prasm�.
	Apibr��imo sritis visada yra egzistavimo srities poaibis.
\end{enumerate}
\end{isv}

\begin{ps*}
$|x|$ n�ra tolydi funkcija: $|x| = \sqrt{x^2} = e^{\frac{1}{2}\ln x^2}$ 
neegzistuoja, kai x = 0.
\end{ps*}

\begin{ap}								% 4.14
Funkcija $f: E \to \R$ vadinama \Def{tolygiai tolyd�ia} aib�je $E$, jei
$\forall \eps > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad |f(y)-f(x)| < \eps$, kai
$|x-y| < \delta$ ir $x, y \in E$.
\end{ap}

\begin{ps*}
Palyginkime su tolyd�ios aib�je $E$ funkcijos apibr��imu:
$\forall x \in E \quad \forall \eps > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad 
|f(y)-f(x)| < \eps$, kai $|x-y| < \delta$ ir $y \in E$.
\end{ps*}

\begin{pvzz}~\par							% 4.15
\begin{enumerate}
  \item $f(x) = x^2$, $x \in [-a, a]$ yra tolygiai tolydi intervale $[-a, a]$.
  \item $f(x) = x^2$, $x \in \R$ n�ra tolygiai tolydi.
  \item $f(x) = \sin x^2$, $x \in \R$ n�ra tolygiai tolydi.
  \item $\displaystyle f(x) = \sin \frac{1}{x}$, $x \in \R$ n�ra tolygiai tolydi.
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tr}[Kantoro teorema]						% 4.16
Jei $f \in C[a, b]$, tai funkcija yra tolygiai tolydi intervale $[a, b]$.
\end{tr}

\begin{pvz}								% 4.17
$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{x}$, $x \in (0, 1)$ yra tolygiai
tolydi intervale $(0, 1)$.
\end{pvz}

\begin{ap}								% 4.18
Sakoma, kad funkcija $f: E \subset \R \to \R$ \Def{turi tr�k�} ta�ke
$x_0 \in E$, jei ji n�ra tolydi tame ta�ke. Ta�kas $x_0 \in E$ vadinamas
funkcijos $f$ \Def{pirmo tipo tr�kio ta�ku}, jei $\exists f(x_0 - 0) :=
\lim_{x \to x_0-0} f(x) \in \R$ ir $\exists f(x_0 + 0) := \lim_{x \to x_0+0}
f(x) \in \R$. Atskiru atveju, kai $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$, $x_0$
vadinamas \Def{pa�alinamu} funkcijos $f$ tr�kio ta�ku. Likusiais
atvejais (kai bent viena riba $f(x_0 - 0)$ arba $f(x_0 + 0)$
neegzistuoja arba yra begalin�), $x_0$ vadinamas funkcijos $f$
\Def{antro tipo tr�kio ta�ku}.
\end{ap}

\begin{ps*}
Da�nai patogu vadinti tr�kio ta�kais ir ta�kus $x_0 \in \R$, kai
$\dot{U}_{eps}(x_0) := U_{\eps} \setminus \{x_0\} \subset E$
\end{ps*}

\begin{ps*}
Tr�kio ta�kai, pana��s � funkcijos $f(x) = \sin \frac{1}{x}$ $x_0 = 0$ dar
vadinami \Def{osciliuojan�iais}.
\end{ps*}

\begin{pvzz}~\par							% 4.19
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{x}$, $x \in \R \setminus \{0\}$. $x_0 = 0$ yra
        pa�alinamas I tipo tr�kio ta�kas.
  \item $\displaystyle f(x) = \arctan \frac{1}{x}$, $x \in \R \setminus \{0\}$. $x_0 = 0$ yra
        I tipo tr�kio ta�kas.
  \item $\displaystyle f(x) = e^{\frac{1}{x}}$, $x \in \R \setminus \{0\}$. $x_0 = 0$ yra
        II tipo (begalinis) tr�kio ta�kas.
  \item $\displaystyle f(x) = \sin \frac{1}{x}$, $x \in \R \setminus \{0\}$. $x_0 = 0$ yra
        II tipo (osciliuojantis) tr�kio ta�kas.
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}								% 4.20
Monotonin� funkcija $f: (a, b) \to \R$ neturi II tipo tr�kio ta�k�. Jos
tr�kio ta�k� aib� yra baigtin� arba skai�ioji.
\end{tg}


\section{Diferencijavimas}						% 5

\begin{ap}								% 5.1
Sakoma, kad funkcija $f: I \to \R$ (\/$I$ -- intervalas) yra
\Def{diferencijuojama} ta�ke $x \in I$, jei $\exists \lim_{y \to x}
\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \in \R$. Tokiu atveju pastaroji riba vadinama
funkcijos $f$ \Def{i�vestine} ta�ke $x$ ir �ymima $f'(x)$.

Pakeit� nurodyt� rib� riba i� de�in�s (i� kair�s), gausime \Def{de�inin�s}
(\Def{kairin�s}) i�vestin�s apibr��im�. Jos �ymimos $f'_d(x)$, $f'_+(x)$
(\/$f'_k(x)$, $f'_-(x)$\/).

Jei funkcija $f$ yra diferencijuojama su visais $x \in I$, tai sakoma,
kad funkcija $f$ yra diferencijuojama intervale $I$.
\end{ap}

\begin{ps}[Geometrin� i�vestin�s prasm�]				% 5.2
Sakykime, funkcija $f: I \to \R$ yra diferencijuojama ta�ke $x$. Tada
$\eps(t) := \frac{f(t)-f(x)}{t-x} - f'(x) \to 0$, kai $t \to x$. $f(t) =
f(x) + f'(x)(t-x) + \underbrace{\eps(t)(t-x)}_{\textrm{``ma�as'', kai }
t \to x}$. Atmet� paskutin� (``ma��'') nar� gauname tiesin� funkcij�
$y(t) = f(x) + f'(x)(t-x)$, $t \in \R$, kuri, kai $t$ ``arti'' $x$,
�gyja reik�mes, ``artimas'' $f(x)$. �i funkcija vadinama funkcijos
$f(x)$ \Def{liestine} ta�ke $x$. Geometri�kai jos grafikas yra funkcijos
$f$ grafiko liestin� ta�ke $(x, f(x))$.

Liestin�s kampinis koeficientas $\tan \alpha = f'(x)$.
\end{ps}

\begin{tg}								% 5.3
Jei funkcija $f$ diferencijuojama ta�ke $x$, tai ji tolydi tame ta�ke.
\end{tg}

\begin{tg}								% 5.4
Jei funkcijos $f, g$ yra diferencijuojamos ta�ke $x \in I$, tai
\begin{enumerate}
  \item $(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$.
  \item $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.
  \item $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) -
        f(x)g'(x)}{g^2(x)}$, jei $g(x) \ne 0$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{tg}								% 5.5
Jei $f: (a, b) \to (c, d)$ yra diferencijuojama ta�ke $x \in (a, b)$, o
$g: (c, d) \to \R$ yra diferencijuojama ta�ke $y = f(x)$, tai funkcija
$g \circ f$ yra diferencijuojama ta�ke x ir $(g \circ f)'(x) =
g'\left(f\left(x\right)\right) f'(x)$.
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 5.6
\begin{enumerate}
  \item $f(x) = C$, $x \in \R$. $f'(x) = 0$.
  \item $f(x) = x$, $x \in \R$. $f'(x) = 1$.
  \item $f(x) = x^2$, $x \in \R$. $f'(x) = 2x$. \par
	$f(x) = x^n$, $x \in \R$, $n \in \N$. $f'(x) = n x^{n-1}$.  
  \item $f(x) = \sin x$, $x \in \R$. $f'(x) = \cos x$. \par
        $f(x) = \cos x$, $x \in \R$. $f'(x) = -\sin x$. \par
	$f(x) = \tan x$, $x \in \R \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi n,\ n
	\in \Z\}$. $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$. \par
	$f(x) = \cot x$, $x \in \R \setminus \{\pi n,\ n \in \Z\}$.
	$\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$. 
  \item $f(x) = a^x$, $x \in \R$, $a > 0$, $a \ne 1$. $f'(x) = a^x \ln a$.\par
        Atskiru atveju $f(x) = e^x$, $x \in \R$. $f'(x) = e^x$.
  \item $f(x) = \log_a x$, $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$. $\displaystyle
	f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$. \par         
	Atskiru atveju $f(x) = \ln x$, $x > 0$. $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$.
  \item $f(x) = x^a$, $x > 0$, $a \in \R$. $f'(x) = a x^{a-1}$. \par
        Galima �sitikinti, kad �i formul� teisinga, ir kai $x < 0$, jei
	$x^a$ turi prasm�. \par 
	$\left(x^\frac{m}{n}\right)' = \left(\sqrt[n]{x^m}\right)'$ -- �i
	formul� irgi teisinga, kai $x \in \R$, $m \in \Z$, $n \in \N$.
  \item $f(x) = \left\{\begin{array}{l|l} x^2 \sin \frac{1}{x} & x \ne 0 \\
                	0 & x = 0 \end{array}\right.$, $x \in \R$. \par
	$f'(x) = \left\{\begin{array}{l|l} 2x \sin \frac{1}{x} - \cos
					              \frac{1}{x} & x \ne 0 \\
			0 & x = 0 \end{array}\right.$. \par
	�domu, kad riba $\lim_{x \to 0} f'(x)$ neegzistuoja (t.y. $f'$ n�ra
	tolydi funkcija).
  \item $f(x) = |x|$, $x \in \R$. $f'_d(0) = 1$, $f'_k(0) = -1$.
  \item $\displaystyle \left({\underbrace{f(x)}_{> 0}}^{g(x)}\right)' = 
         f(x)^{g(x)} \left(g'(x) \ln f(x) + \frac{g(x)}{f(x)} f'(x)\right)$. \par
	$(x^x)' = x^x (\ln x + 1)$.
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}[Atvirk�tin�s funkcijos i�vestin�]				% 5.7
Jei grie�tai did�janti funkcija $f \in C(a, b)$ yra diferencijuojama ta�ke
$x_0 \in (a, b)$ ir $f(x) \ne 0$, tai jos atvirk�tin� funkcija $f^{-1}$ yra
diferencijuojama ta�ke $y_0 := f(x_0)$ ir $\left(f^{-1}\right)'(y_0) =
\frac{1}{f'(x_0)}$.
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 5.8
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $x \in (-1, 1)$. \par
        $\displaystyle (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $x \in (-1, 1)$.
  \item $\displaystyle (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$, $x \in \R$. \par
        $\displaystyle (\arccot x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, $x \in \R$. 
\end{enumerate}
\end{pvzz}

~\par

\begin{ap}								% 5.9
Ta�kas $x \in E$ vadinamas funkcijos $f: E \to \R$ \Def{lokaliojo maksimumo
ta�ku}, jei $\exists \eps > 0 \quad f(y) \le f(x)$, kai $y \in U_{\eps}(x)
\cap E$. Analogi�kai apibr��iamas \Def{lokaliojo minimumo ta�kas}. �ie
ta�kai vadinami funkcijos (lokaliniais) \Def{ekstremumo ta�kais}.
\end{ap}

\begin{tg}[Ferma teorema]						% 5.10
Jei $x_0 \in (a, b)$ yra funkcijos $f: [a, b] \to \R$ ekstremumo ta�kas ir
$\exists f'(x_0) \in \R$, tai $f'(x_0) = 0$.
\end{tg}

\begin{tg}[Rolio teorema]						% 5.11
Jei $f \in C[a, b]$ yra diferencijuojama intervale $(a, b)$, ir $f(a) = f(b)$,
tai $\exists c \in (a, b) \quad f'(c) = 0$.
\end{tg}

\begin{tg}[Ko�i vidutin�s reik�m�s teorema]				% 5.12
Jei funkcijos $f, g \in C[a, b]$ yra diferencijuojamos intervale $(a,
b)$,  tai $\exists c \in (a, b) \quad \left(f(b)-f(a)\right)g'(c) =
\left(g(b)-g(a)\right)f'(c)$.
\end{tg}

\begin{ps*}
Jei $g'(x) \ne 0$, $x \in (a, b)$, tai lygyb� galima u�ra�yti taip:
\[
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}
\]
\end{ps*}

\begin{isv}[Lagran�o vidutin�s reik�m�s teorema]			% 5.13
Jei $f \in C[a, b]$ yra diferencijuojama intervale $(a, b)$, 
tai $\exists c \in (a, b) \quad f(b) - f(a) = f'(c) (b-a)$.
\end{isv}

\begin{tg}								% 5.14
Sakykme, funkcija $f$ yra diferencijuojama intervale $(a, b)$. Tada
\begin{enumerate}
  \item Jei $f'(x) \ge 0$, $x \in (a, b)$, tai $f$ did�ja intervale $(a, b)$ 
        (t.y. $\forall a \le x < y \le b \quad f(x) \le f(y)$\/).
  \item Jei $f'(x) \le 0$, $x \in (a, b)$, tai $f$ ma��ja intervale $(a, b)$ 
        (t.y. $\forall a \le x < y \le b \quad f(x) \ge f(y)$\/).
  \item Jei $f'(x) = 0$, $x \in (a, b)$, tai $f$ -- konstanta
        (t.y. $\exists c \in \R \quad \forall x \in (a,b) \quad f(x) = c$\/).
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ps*}
Pakeit� nelygybes grie�tomis gausime grie�tai monotoni�kas funkcijas, bet ne
atvirk��iai. Pvz., $f(x) = x^3$ grie�tai did�ja aib�je $\R$, bet $f'(0) = 0$.
\end{ps*}

\begin{tg}								% 5.15
Jei $f: I \to \R$ (\/$I \subset \R$ -- baigtinis arba begalinis intervalas)
turi apr��t� i�vestin� intervale $I$, tai $f$ yra tolygiai tolydi tame
intervale.
\end{tg}

\begin{ps*}
�is po�ymis n�ra b�tinas. Pvz., $\sqrt{x} \in (0, 1)$ yra tolygiai tolydi,
nors neturi i�vestin�s ta�ke $x = 0$.
% �ia mano paistalai, nesu 100% tikras d�l �ito.
\end{ps*}

\begin{tr}[Lopitalio taisykl�]						% 5.16
Tarkime, kad funkcijos $f$ ir $g$ yra diferencijuojamos intervale $(a, b)$
(\/$-\infty \le a < b < +\infty$\/) ir
\begin{enumerate}
  \item $\lim_{x \downarrow a} f(x) = \lim_{x \downarrow a} g(x) = 0$ arba
        $\lim_{x \downarrow a} g(x) = +\infty$.
  \item $g'(x) \ne 0$, kai $x \in (a, b)$.
  \item $\exists \lim_{x \downarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A \in \RR$.
\end{enumerate}
Tada $\lim_{x \downarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = A$.
\end{tr}

\begin{pvzz}~\par							% 5.17
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
  \item $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{10}}{e^{\frac{x}{10}}} = 0$.
  \item $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x^a} = 0$, $a > 0$. \par
        Pana�iai galima �rodyti, kad
	$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ln^n x}{x^a} = 0$, $a > 0$, $n \in \N$.
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 5.18
Jei funkcija $f$ yra diferencijuojama intervale $I$, ir jos i�vestin�
$f'(x)$, $x \in I$, taip pat yra diferencijuojama funkcija, tai jos
i�vestin� $(f')'(x)$ vadinama funkcijos $f$ \Def{antr�ja i�vestine} ir
�ymima $f''(x)$ arba $f^{(2)}(x)$. Analogi�kai apibr��iamos auk�tesni�
eili� i�vestin�s $f'''(x) = f^{(3)}(x)$, $\ldots f^{(n)}(x) =
(f^{(n-1)})'(x)$, su s�lyga, kad jos egzistuoja.

Vis� funkcij� $f: [a, b] \to \R$, turin�i� vis� eili� tolyd�ias
i�vestines iki $n$-tosios eil�s imtinai aib� �ymima $C^n[a, b] := \{f(x):
\quad \forall k = 1, \ldots, n \quad f^{(k)} \in C[a, b]\}$. Be to,
$f \in C^{\infty}[a, b] \quad \Longleftrightarrow \quad
\forall n \in \N \quad \exists f^{(n)} \in C[a, b]$.
\end{ap}

\begin{tr}[Teiloro formul�]						% 5.19
Tarkime, funkcija $f \in C^n[x_0, x]$ yra $(n+1)$ kart� diferencijuojama
intervale $(x_0, x)$ (tam pakanka $f \in C^{n+1}[x_0, x]$\/). Tada
$\exists c \in (x_0, x):$
\[
    f(x) = \underbrace{f(x_0) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k}
	   _{=: P_n(x_0; x)}
	 + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}}
	   _{=: R_n(x_0; x)}
\]
Daugianaris $P_n(x_0; x)$ vadinamas \Def{Teiloro daugianariu}, o rei�kinys
$R_n(x_0; x)$ -- \Def{Teiloro formul�s liekamuoju nariu Lagran�o pavidalu}.
\end{tr}

\begin{pss}~\par							% 5.20
\begin{enumerate}
  \item Formul� teisinga ir intervalui $[x, x_0]$, kai $x < x_0$.
  \item Teiloro formul� leid�ia ``sud�tingos'' funkcijos reik�mi� skai�iavim�
        pakeisti ``paprastos'' funkcijos -- daugianario $P_n(x_0; x)$
	reik�mi� skai�iavimu, kai $R_n(x_0; x)$ yra ``ma�as'' (pastaroji
	situacija yra tipi�ka).
  \item Ypa� da�nai �i formul� naudojama, kai $x_0 = 0$:
        \[
          f(x) = f(0) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + 
	         \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1}
        \]
	(Makloreno formul�)
  \item Liekamojo nario \Def{Ko�i pavidalas}:
        \[
	  R_n(x_0; x) = \frac{f^{(n+1)}(\tilde{c})}{n!} (x-\tilde{c})(x-x_0)^n
        \]
  \item Kai $n = 2$:
        \[
          f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 
	       + \frac{f'''(c)}{3!}(x-x_0)^3
        \]
	Pirmi du nariai -- liestin�s lygtis (``geriausiai priglundanti
	ties�''), pirmi trys nariai -- ``geriausiai priglundanti parabol�''
	ir t.t.
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{ap}								% 5.21
Ra�ysime $f(x) = o\left(g(x)\right)$, $x \to a$, jei egzistuoja tokia
funkcija $\eps(x)$, apibr��ta ta�ko $a$ aplinkoje, kad $\eps(x) \to 0$,
kai $x \to a$, ir $f(x) = \eps(x)g(x)$ (ta�ko $a$ aplinkoje). Jei $g(x)
\ne 0$ ta�ko $a$ aplinkoje, tai $f(x) = o\left(g(x)\right)$, $x \to a$
$\Longleftrightarrow$ $\frac{f(x)}{g(x)} \to 0$, $x \to a$.
\end{ap}

\begin{ps*}
Jei $g(x) \to 0$ ir $f(x) = o\left(g(x)\right)$, $x \to a$, tai sakoma,
kad ``$f$ nyksta grei�iau nei $g$'', $x \to a$.

Jei $g(x) \to +\infty$, tai sakoma, kad ``$f$ auga grei�iau nei $g$''.
\end{ps*}

\begin{pvzz*}
$x^2 = o(x)$, $x \to 0$ \par
$x = o(x^2)$, $x \to +\infty$ \par
$x^a = o(e^x)$, $x \to +\infty$ \par
$\lg x = o(x^a)$, $x \to +\infty$
\end{pvzz*}

\begin{isv}[Teiloro formul� su Peano pavidalo liekamuoju nariu]		% 5.22
Jei $f \in C^n[x_0, x]$, tai $f(t) = P_n(x_0; t) + o(|x-x_0|^n)$, $x \to x_0$,
t.y. $\frac{R_n(x_0; x)}{|x-x_0|^n} \to 0$, $x \to x_0$.
\end{isv}

\begin{ap}								% 5.23
Tarkime, kad funkcija $f$ yra be galo diferencijuojama ta�ko $x_0$ aplinkoje.
Funkcijos $f$ \Def{Teiloro eilute} su centru $x_0$ vadinama funkcij� eilut�
\[
  f(x_0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\]
Pasteb�kime, kad Teiloro eilut�s dalin�s sumos yra jos Teiloro
daugianariai $P_n(x_0; x)$, tod�l �i eilut� konverguoja su tais $x$, su
kuriais Teiloro formul�s liekamasis narys $R_n(x_0; x) \to 0$, $n \to
\infty$ ir tokiu atveju
\[
  f(x) = f(x_0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\]
\end{ap}

\begin{pvzz}~\par							% 5.24
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle e^x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, $x \in \R$.
  \item $\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $x \in \R$. \par
        $\displaystyle \cos x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$, $x \in \R$.
  \item $\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$,
        $x \in (-\frac{1}{2}, 1]$ (i� ties� formul� teisinga, kai $x \in (-1; 1]$,
	tik tai sunku �rodyti turimomis priemon�mis).
  \item $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}} & x \ne 0 \\
                	0 & x = 0 \end{array}\right.$. \par
	Funkcijos Teiloro eilut� tapa�iai lygi nuliui.
  \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin x - x + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!}}{x^7} =
         -\frac{1}{7!}$.
	% �it� reik�t� patikrinti...
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 5.25
Funkcija $f: E \to \R$ vadinama \Def{i�kila (�emyn)} intervale $I
\subset E \subset \R$, jei $f(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) \le \alpha_1 f(x_1) +
\alpha_2 f(x_2)$, su visais $x_1, x_2 \in I$, $\alpha_1, \alpha_2 > 0$, 
$\alpha_1 + \alpha_2 = 1$.

Reikalaudami grie�tos nelygyb�s gauname \Def{grie�tai i�kilos (�emyn)}
funkcijos apibr��im�.

Pakeit� nelygyb� prie�inga, gauname \Def{i�kilos auk�tyn} arba
\Def{i�gaubtos} funkcijos apibr��im�.
\end{ap}

\begin{tg}\label{5.26}							% 5.26
Diferencijuojama funkcija $f: I \to \R$ yra i�kila (�emyn) intervale $I$
tada ir tik tada, kai jos i�vestin� $f'$ did�ja intervale $I$. Grie�t�
i�vestin�s did�jim� atitinka grie�tas funkcijos i�kilumas.
\end{tg}

\begin{isv}								% 5.27
Dukart diferencijuojama funkcija $f$ yra i�kila intervale $I$ tada ir
tik tada, kai $f'' \ge 0$ intervale $I$. Jei $f'' > 0$ intervale $I$,
tai $f$ -- grie�tai i�kila (neb�tinai atvirk��iai).
\end{isv}

\begin{ps*}
Analogi�kas tvirtinimas teisingas ir i�gaubtai funkcijai.
\end{ps*}

\begin{ap}								% 5.28
Ta�kas $x_0 \in (a, b)$ vadinamas funkcijos $f: (a, b) \to \R$
\Def{perlinkio ta�ku}, jei $\exists \eps > 0$ toks, kad $f$ yra i�kila
intervale $U_\eps^-(x_0) := (x_0 - \eps, x_0)$ ir i�gaubta intervale
$U_\eps^+(x_0) := (x_0, x_0 + \eps)$ arba atvirk��iai.
\end{ap}

\begin{isv}[I� \ref{5.26}]						% 5.29
Jei $x_0$ yra dukart diferencijuojamas funkcijos perlinkio ta�kas, tai
$f''(x_0) = 0$ (neb�tinai atvirk��iai).
\end{isv}

\section{Funkcij� sek� ir eilu�i� tolydusis konvergavimas}		% 6

\begin{ap}								% 6.1
Sakoma, kad funkcij� seka $(f_n)$, $n \in \N$ \Def{konverguoja �
funkcij�} $f$ aib�je $E$, jei $\forall x \in E \quad f_n(x) \to f(x)$,
kai $n \to \infty$. Toks funkcij� sekos konvergavimas vadinamas
\Def{paprastu} arba \Def{pata�kiu} ir �ymimas $f_n \to f$, $n \to \infty$
(aib�je $E$\/).

Sakoma, kad funkcij� seka $(f_n)$ konverguoja � funkcij� $f$ \Def{tolygiai}
aib�je $E$, jei $\sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| \to 0$, $n \to \infty$.
�ymima $f_n \rightrightarrows f$, $n \to \infty$ (aib�je $E$\/).
\end{ap}

\begin{ps}								% 6.2
\par
$f_n \to f \quad \Longleftrightarrow \quad
  \forall x \in E \quad \forall \eps > 0 \quad \exists N \in \N \quad
    |f_n(x) - f(x)| < \eps$, kai $n > N$ \par
$f_n \rightrightarrows f \quad \Longleftrightarrow \quad
  \forall \eps > 0 \quad \exists N \in \N \quad
    |f_n(x) - f(x)| < \eps$, kai $n > N$ \par
Skirtumas -- tolygaus konvergavimo atveju $N$ priklauso tik nuo $\eps$ ir
nepriklauso nuo $x$.
\end{ps}

\begin{pvzz}~\par							% 6.3
\begin{enumerate}
  \item $f_n(x) = x^n$, $x \in [0, 1]$.
        $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & x \in [0, 1) \\
                	1 & x = 1 \end{array}\right.$. \par
	Funkcij� seka konverguoja pata�kiui.
  \item $f_n(x) = x^n - x^{n+1}$, $x \in [0, 1]$.
        $f(x) = 0$. \par
	Funkcij� seka konverguoja tolygiai.
  \item $f_n(x) = x^n - x^{2n}$, $x \in [0, 1]$.
        $f(x) = 0$. \par
	Funkcij� seka konverguoja pata�kiui.
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ps}								% 6.4
Funkcijoms $f,\ g: E \to \R$ pa�ym�kime $d(f, g) = d_E(f, g) := \sup_{x
\in E} |f(x) - g(x)|$. Funkcija $d$ pasi�ymi �iomis savyb�mis:
\begin{enumerate}
  \item $d(f, g) = d(g, f)$.
  \item $d(f, g) \ge 0$, be to $d(f, g) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f = g$.
  \item $d(f, g) \le d(f, h) + d(h, g)$, $h: E \to \R$ (Trikampio nelygyb�).
\end{enumerate}
Pastebime, kad $f_n \rightrightarrows f$ aib�je $E$ $\Longleftrightarrow$
$d(f_n, f) \to 0$, $n \to \infty$.

Funkcija $d$ vadinama \Def{tolygaus konvergavimo metrika (atstumu)}.
Kartais -- \Def{supremumo metrika}.
\end{ps}

\begin{tg}[Funkcij� sekos tolygaus konvergavimo Ko�i kriterijus]	% 6.5
Funkcij� seka $(f_n)$ konverguoja tolygiai (� koki� nors funkcij� $f$)
aib�je $E$ tada ir tik tada, kai
\[
  \forall \eps > 0 \quad \exists N \in \N \quad
    d(f_n, f_m) = \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_m(x)| < \eps
    \textrm{, kai } m, n > N
\]
\end{tg}

\begin{ap}								% 6.6
Sakoma, kad funkcij� eilut� $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ \Def{konverguoja
tolygiai} aib�je $E$, jei jos dalini� sum� seka $S_n := \sum_{k=1}^n f_k$,
$n \in \N$ konverguoja tolygiai aib�je $E$ � koki� nors funkcij� $f$. Tokiu
atveju ra�oma $f = \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ tolygiai aib�je $E$ (arba
$f = \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ tolygiai pagal $x \in E$\/).
\end{ap}

\begin{tg}[Funkcij� eilu�i� tolygaus konvergavimo Vejer�traso po�ymis]	% 6.7
Jei $|f_n(x)| \le c_n$, $x \in E$, $n \in \N$ ir $\sum_{n=1}^{\infty}
c_n < +\infty$, tai funkcij� eilut� \eil{f} konverguoja tolygiai aib�je
$E$.
\end{tg}

\begin{tr}[Teorema apie rib� sukeitim�]					% 6.8
Tarkime, kad $f_n \rightrightarrows f$ aib�je $E$ ir $\forall n \in \N \quad
\exists A_n := \lim_{t \to x} f_n(t) \in \R$, $t \in E$. Tada $\exists
\lim_{t \to x} f(t) = \lim_{n \to \infty} A_n \in \R$. Kitaip tariant,
\[
  \lim_{t \to x} \lim_{n \to \infty} f_n(t) =
  \lim_{n \to \infty} \lim_{t \to x} f_n(t)
\]
\end{tr}

\begin{ps*}
Be tolygaus konvergavimo toks rib� sukeitimas ne visada teisingas. Pvz.,
$f_n(x) = x^n$, $x \in E = (0, 1)$: \par
$\lim_{t \to x} \lim_{n \to \infty} f_n(t) = 0$ \par
$\lim_{n \to \infty} \lim_{t \to x} f_n(t) = 1$
\end{ps*}

\begin{isv}								% 6.9
Jei $f_n \in C(E)$, $n \in \N$ ir $f_n \rightrightarrows f$ aib�je $E$, tai
$f$ taip pat tolydi.
\end{isv}

\begin{ps*}
Funkcij� sekos tolydus konvergavimas yra esminis:

$f_n(x) = x^n$, $x \in E = [0, 1]$,
$f_n(x) \to f(x) = \left\{\begin{array}{l|l} 0 & x \in [0, 1) \\
                	1 & x = 1 \end{array}\right.$. 
\end{ps*}

\begin{tr}[Dinio lema]							% 6.10
Tarkime, kad funkcij� seka $(f_n \in C[a, b])$ kiekvienam ta�ke monotoni�kai
art�ja prie funkcijos $f \in C[a, b]$. Tada $f_n$ konverguoja tolygiai.
\end{tr}

\begin{ps*}
Monotoni�kumas yra esminis. Pvz., $f_n(x) = x^n - x^{2n}$, $x \in [0, 1]$,
$f_n \to 0$ (pata�kiui).
\end{ps*}

\begin{tr}[Vejer�traso teorema apie tolyd�i� funkcij� aproksimacij�
daugianariais]								% 6.11
Bet\\ % FIXME: how to force a linebreak here?
kokiai funkcijai $f \in C[a, b]$ galima rasti daugianari� sek� $(P_n)$,
konverguojan�i� � $f$ tolygiai intervale $[a, b]$.
\end{tr}

\begin{lm}								% 6.12
Egzistuoja daugianari� seka $(p_{nk}: n \in \N, k: 0, 1, \ldots, n)$,
pasi�yminti �iomis savyb�mis:
\begin{enumerate}
  \item $\forall p_{nk}(x) \ge 0$, $x \in [0, 1]$.
  \item $\displaystyle \forall n \in \N \quad \sum_{k = 0}^{n} p_{nk}(x) = 1$
  \item $\displaystyle c_n := \max_{x \in [0, 1]} \sum_{k=0}^n 
	    \left(\frac{k}{n} - x\right)^2 p_{nk}(x) \to 0$, $n \to \infty$.
\end{enumerate}
\end{lm}

\begin{ap}								% 6.13
Funkcij� eilut� $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n$ vadinama \Def{laipsnine
eilute} su \Def{centru} ta�ke $a$; �ia $c_n$ vadinami laipsnin�s eilut�s
\Def{koeficientais}.
\end{ap}

\begin{tg}								% 6.14
Sakykime, $c_n$, $n = 0, 1, \ldots$ -- laipsnin�s eilut�s koeficientai. 
Pa�ym�kime 
\[R := \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \in
[0, +\infty].\] Tada
\begin{enumerate}
  \item Laipsnin� eilut� konverguoja absoliu�iai, kai $x \in (a-R, a+R)$
	(t.y. $|x-a| < R$\/) ir diverguoja, kai $x \not\in [a-R, a+R]$
	(t.y. $|x-a| > R$\/).
  \item Jei $\exists \widetilde{R} = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$,
	tai $\widetilde{R} = R$
\end{enumerate}

R vadinamas laipsnin�s eilut�s \Def{konvergavimo spinduliu}, o intervalas
$(a-R, a+R)$ -- \Def{konvergavimo intervalu}.
\end{tg}

\begin{tg}								% 6.15
Tarkime, turime laipsnin� eilut� $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n$ su
konvergavimo spinduliu $R$. Tada $\forall \widetilde{R} < R$ �i laipsnin�
eilut� konverguoja tolygiai intervale $[a-\widetilde{R}, a+\widetilde{R}]$.
\end{tg}

\begin{isv}								% 6.16
Laipsnin�s eilut�s suma -- tolydi funkcija laipsnin�s eilut�s konvergavimo
intervale $(a-R, a+R)$.
\end{isv}

\end{document}

% ----------
% Templates:

%\begin{tg}								% 6.
%
%\end{tg}

%\begin{enumerate}
%  \item 
%  \item 
%\end{enumerate}

%\begin{pvzz}~\par							% 6.
%\begin{enumerate}
%  \item 
%  \item 
%\end{enumerate}
%\end{pvzz}
