\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{inputenc}
\usepackage[T1,LT]{fontenc}
\inputencoding{cpRIM}      

% Margins
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-1cm}
\addtolength{\textheight}{2cm}

% Macros
\makeatletter
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\RR}{\overline{\mathbb{R}}}
\newcommand{\BDD}{\mathop{\operator@font BDD}\nolimits} 
\newcommand{\const}{\mathop{\operator@font const}\nolimits} 
\newcommand{\grad}{\mathop{\operator@font grad}\nolimits} 
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\newcommand{\dx}{\ud x}
\newcommand{\dt}{\ud t}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\newcommand{\arccot}{\mathop{\operator@font arccot}\nolimits} 
\makeatother

%\newcommand{\Def}[1]{\emph{#1}}
%\newcommand{\Def}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\Def}[1]{\textnormal{\textsf{#1}}}
%\newcommand{\Def}[1]{\textbf{#1}}
\newcommand{\Def}[1]{\textnormal{\textbf{#1}}}


% Lithuanian standards

% Maybe be consistent with Lithuanian traditions?
%\renewcommand{\tan}{\mathop{\operator@font tg}\nolimits} 
%\renewcommand{\arctan}{\mathop{\operator@font arctg}\nolimits} 
%\renewcommand{\cot}{\mathop{\operator@font ctg}\nolimits} 
%\renewcommand{\arccot}{\mathop{\operator@font arcctg}\nolimits} 

\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\partname}{dalis}
 
\makeatletter
\def\@part[#1]#2{%
    \ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
      \refstepcounter{part}%
      \addcontentsline{toc}{part}{\thepart\hspace{1em}#1}%
    \else
      \addcontentsline{toc}{part}{#1}%
    \fi
    {\parindent \z@ \raggedright
     \interlinepenalty \@M
     \normalfont
     \ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
       \Large\bfseries \thepart~\partname
       \par\nobreak
     \fi
     \huge \bfseries #2%
     \markboth{}{}\par}%
    \nobreak
    \vskip 3ex
    \@afterheading}
\makeatother

% Environments

\newtheorem{ap}{Apibrėžimas}[section]
\newtheorem{tg}[ap]{Teiginys}
\newtheorem{tgg}[ap]{Teiginiai}
\newtheorem{tr}[ap]{Teorema}
\newtheorem{lm}[ap]{Lema}
\newtheorem{ps}[ap]{Pastaba}
\newtheorem{pss}[ap]{Pastabos}
\newtheorem{isv}[ap]{Išvada}
\newtheorem{isvv}[ap]{Išvados}
\newtheorem{pvz}[ap]{Pavyzdys}
\newtheorem{pvzz}[ap]{Pavyzdžiai}

\newenvironment{ps*}{\par\noindent\textbf{Pastaba}\begin{em}}{\end{em}}
\newenvironment{pss*}{\par\noindent\textbf{Pastabos}\begin{em}}{\end{em}}
\newenvironment{pvz*}{\par\noindent\textbf{Pavyzdys}\begin{em}}{\end{em}}
\newenvironment{pvzz*}{\par\noindent\textbf{Pavyzdžiai}\begin{em}}{\end{em}}

\newenvironment{pseudoisv}[1]{\par\noindent\textbf{Išvada #1}\begin{em}}{\end{em}}

% Layout

\title{Matematinės analizės konspektai \\ {\small (be įrodymų)}}
\author{Marius Gedminas \\ pagal V.~Mackevičiaus paskaitas}
\date{I kursas, pavasario semestras (1998--1999~m.)}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\nouppercase{\leftmark}}
\chead{}
\rhead{\nouppercase{\rightmark}}
\lfoot{Matematinės analizės konspektai}
\cfoot{\thepage}
\rfoot{\copyright~M.~Gedminas, 1999~04~14 -- 1999~05~24}

\begin{document}
\maketitle

\part{Integravimas}

\section{Neapibrėžtinis integralas}					% 1

\begin{ap}								% 1.1
Sakoma, kad funkcija $F: I \to \R$ (\/$I \subset \R$ -- intervalas) yra
funkcijos $f: I \to \R$ \Def{pirmykštė} funkcija, jei $F'(x) = f(x)$ su
visais $x \in I$.
\end{ap}

\begin{tg}								% 1.2
Jei $F_1$ ir $F_2$ yra funkcijos $f: I \to \R$ pirmykštės funkcijos, tai
$F_1 - F_2$ yra konstanta (t.y. $\exists C \in \R \quad \forall x \in I
\quad F_1(x) - F_2(x) = C$\/).
\end{tg}

\begin{ap}								% 1.3
Funkcijos $f: I \to \R$ \Def{neapibrėžtiniu integralu} vadinama visų jos
pirmykščių fun\-k\-ci\-jų (besiskiriančių tik konstanta) šeima.
\[
  \int f(x) \,\dx := \left\{ F(x) + C, \quad C \in \R, \quad F' = f
  \right\}
\]
(su sąlyga, kad $f(x)$ turi pirmykščių funkcijų).
Dažnai rašoma tiesiog $\int f(x)\,\dx = F(x) + C$.
\end{ap}

\begin{tg}[Pagrindinių integralų lentelė]~\par				% 1.4
\begin{enumerate}
  \item \makebox[0.5\textwidth][l]{
          \(\displaystyle
            \int x^\alpha \,\dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad
            (\alpha \ne -1) \) }
          \(\displaystyle
            \int \frac{\dx}{x} = \ln |x| + C \)
  \item \makebox[0.5\textwidth][l]{
          \(\displaystyle \int \sin x \,\dx = - \cos x + C \) }
          \(\displaystyle \int \cos x \,\dx = \sin x + C \)
  \item \makebox[0.5\textwidth][l]{
          \(\displaystyle \int \frac{\dx}{\sin^2 x} = - \cot x + C \) }
          \(\displaystyle \int \frac{\dx}{\cos^2 x} = \tan x + C \)
  \item   \(\displaystyle \int \frac{\dx}{1+x^2} = \arctan x + C_1 = - \arccot x + C_2 \)
  \item \makebox[0.5\textwidth][l]{
          \(\displaystyle \int a^x\,\dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \) }
          \(\displaystyle \int e^x\,\dx = e^x + C \)
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{tg}[Savybės]\label{NI-s}~\par					% 1.5
\begin{enumerate}
  \item (Tiesiškumas)
    \[ \int (\alpha f + \beta g)(x)\,\dx = \alpha \int f(x)\,\dx + \beta \int g(x)\,\dx
    \]
    (su sąlyga, kad $\int f(x)\,\dx$ ir $\int g(x)\,\dx$ egzistuoja)
  \item (Kintamųjų keitimo formulė) \label{NI-KKF}
    Jei $\int f(x)\,\dx = F(x) + C$, tai
    \[ \int f(\phi(t)) \phi'(t) \,\dt = F(\phi(t)) + C
    \]
    čia $\phi$ -- bet kokia diferencijuojama funkcija su reikšmių sritimi $R(\phi) \subset I$,
    kur $I = D(f)$ -- $f$ apibrėžimo sritis.
  \item (Integravimo dalimis formulė) \label{NI-IDF}
    Jei $f, g : I \to \R$ yra diferencijuojamos funkcijos, tai
    \[ \int f(x)g'(x)\,\dx = f(x)g(x) - \int f(g(x)f'(x)\,\dx
    \]
    su sąlyga, kad egzistuoja vienas iš nurodytų integralų.
\end{enumerate}
\begin{ps*}
Visose nurodytose lygybėse dalyvauja ne funkcijos, o funkcijų šeimos. Pvz., 1-ą lygybę
suprantame taip: Jei $F \in \int f(x)\,\dx$, o $G \in \int g(x)\,\dx$, tai $\alpha F +
\beta G \in \int (\alpha f + \beta g)(x)\,\dx$.
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{ap}[Diferencialo sąvoka]						% 1.6
Funkcijos $f: I \to \R$ \Def{diferencialu} taške $x$ vadinama funkcija
$\ud f(x) := f'(x) \,\dx$, $\dx \in \R \quad (*)$. $\Delta f(x) =
f(x+\dx)-f(x) \approx \ud f(x)$, kai $\dx$ yra ``mažas''.
Imkime $f(x)$ ir nagrinėkime $\ud f(x) = f'(x)\,\dx$. Tarkime, $x =
\phi(x)$, $t \in I$.
Tada $\ud f(\phi(t)) = f'(\phi(t))\phi'(t)\,\dt = f'(\phi(t))\,\ud\phi(t)$. Arba
$\ud f(\phi) = f'(\phi) \,\ud \phi$. Tai reiškia, kad $(*)$ išlieka teisinga, jei
vietoje $x$ įstatome bet kokią funkciją $\phi(t)$. Ši savybė vadinama diferencialo
\Def{invariantiškumu} kintamojo keitimo atžvilgiu.

Dabar \ref{NI-s}.\ref{NI-KKF} bei \ref{NI-s}.\ref{NI-IDF} galime formuluoti taip:
\[ \int f(\phi(t)) \,\ud \phi(t) = F(\phi(t)) + C
\]
\[ \int f(x)\,\ud g(x) = f(x)g(x) - \int f(g(x))\,\ud f(x)
\]
\end{ap}

\begin{pvzz}~\par							% 1.7
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle 						% 1.7.1
          \int \cos^2 x \underbrace{\sin x \,\dx}_{= - \ud(\cos x)}
          = - \int (\cos x)^2 \,\ud(\cos x)
          = - \frac{\cos^3 x}{3} + C
        \)
  \item \(\displaystyle 						% 1.7.2
          \int \cos^3 x \,\dx = \int \cos^2 x \underbrace{\cos x \,\dx}_{= \ud(\sin x)}
          = \int (1 - \sin^2 x) \,\ud(\sin x) = \int \ud(\sin x) - \int \sin^2x \,\ud(\sin x)
          = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C
        \)
  \item \(\displaystyle 						% 1.7.3
          \int \cos^2 x \,\dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} \,\dx
          = \frac{1}{2}\int \dx + \frac{1}{2}\int \cos 2x \,\dx
          = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\int \cos 2x \,\ud(2x)
          = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C
        \)
  \item \(\displaystyle 						% 1.7.4
          \int \ln x \,\dx = x \ln x - \int x \,\ud(\ln x)
          = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,\dx = x \ln x - x + C
          = x (\ln x - 1) + C
        \)
  \item \(\displaystyle 						% 1.7.5
          \int \frac{x \,\dx}{1 + x^2} = \int\frac{\frac{1}{2}\ud(x^2+1)}{x^2+1}
          = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C
        \)
  \item[5'] \(\displaystyle 						% 1.7.5'
          \int \frac{x \,\dx}{1 + x^4} = \int\frac{\frac{1}{2}\dx^2}{1+x^4}
          = \frac{1}{2} \arctan x^2 + C
        \)
  \item \(\displaystyle 						% 1.7.6
          \int \arctan x \,\dx = x \arctan x - \int x \,\ud \arctan x
          = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,\dx
          = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)
        \)
  \item \begin{eqnarray*}
          I &:=& \int e^x \underbrace{\sin x \,\dx}_{= - \ud(\cos x)}
          = - \int e^x \,\ud \cos x
          = - \left( e^x \cos x - \int \cos x \,\ud e^x \right)
          = - e^x \cos x + \int e^x \underbrace{\cos x \,\dx}_{= \ud(\sin x)}	=\\
          &=& - e^x \cos x + \int e^x \,\ud(\sin x)
          = e^x (\sin x - \cos x) - \int \sin x \,\ud e^x			=\\
          &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x \sin x \,\dx
          = e^x (\sin x - \cos x) - I						=\\
          I  &=& e^x (\sin x - \cos x) - I					\\
          2I &=& e^x (\sin x - \cos x)						\\
          I  &=& \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x)
        \end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{pvzz}


\section{Funkcijos be antros rūšies trūkių}				% 2

\begin{ap}								% 2.1
Sakykime, $I \subset \R$ -- intervalas. $D(I)$ žymėsime visų funkcijų $f: I \to \R$,
neturinčių antros rūšies trūkių aibę. Tai yra
\[D(I) := \left\{ f: I \to \R, \quad \forall x \in I \quad
  \exists f(x+0) = \lim_{t \downarrow x} f(t) \in \R \textrm{  ir  }
  \exists f(x-0) = \lim_{t \uparrow x} f(t) \in \R
  \right\}\]
(intervalo $I$ galuose imamos ribos tik iš vienos pusės).

Funkcijas, priklausančias $D(I)$ čia vadinsime \Def{reguliariomis}.
Taip pat žymėsime $D[a, b] := D\left([a, b]\right)$.
\end{ap}

\begin{tg}								% 2.2
Jei $f_n \in D(I)$, $n \in \N$ ir $f_n \rightrightarrows f$ intervale $I$, tai
$f \in D(I)$.
\end{tg}

\begin{ap}								% 2.3
Funkcija $f: I \to \R$ (\/$I = [a,\,b]$\/) vadinama \Def{laiptine funkcija}, jei
intervalą $[a,\,b]$ galima suskaidyti į baigtinį skaičių intervalų $I_1$, $I_2$,
\ldots, $I_k$, kuriuose $f$ yra pastovi: $f(x) = y_i$, kai $x \in I_i$, $i = 1,
\ldots, k$.

Tokių funkcijų klasę žymėsime $S[a, b]$.
\end{ap}

\begin{tg}								% 2.4
Tarkime, $f \in C[a, b]$. Pažymėkime $x_k^n := a + \frac{b-a}{n}k$, $k = 0, \ldots, n$.
Apibrėžkime $\phi_n \in S[a, b]$ lygybe
\[
  \phi_n(x) := \left\{\begin{array}{ll}
                        f(x_k^n), & x \in [x_k^n,\,x_{k+1}^n) \\
                        f(b), & x = b
                      \end{array}\right.
\]
Tada $\phi_n \rightrightarrows f$, $n \to \infty$ intervale $[a,\,b]$.
\end{tg}

\begin{ps}								% 2.5
Teiginys liks teisingas, jei vietoje $x_k^n = a + \frac{b-a}{n}k$ imsime bet kokius
$a = x_0^n < x_1^n < \ldots < x_n^n = b$ taip, kad $\max_i |x_{i+1}^n - x_i^n| \to
0$, kai $n \to \infty$ ir vietoje funkcijos f reikšmių $f(x_k^n)$ kairiuosiuose
intervalų $[x_k^n,\,x_{k+1}^n)$ galuose imsime reikšmes $f(\xi_k^n)$ su
$\xi_k^n \in [x_k^n,\,x_{k+1}^n]$.
\end{ps}

\begin{tr}								% 2.6
Tarkime, $f \in D[a, b]$. Tada
\begin{enumerate}
  \item Egzistuoja seka $(\phi_n \in S[a, b])$: $\phi_n \rightrightarrows f$, $n \to \infty$.
  \item Funkcijos $f$ trūkio taškų aibė yra baigtinė arba skaičioji
  \item $f$ yra aprėžta
\end{enumerate}
\end{tr}


\section{Apibrėžtinis integralas}					% 3

\begin{ap}								% 3.1
Tarkime, kad funkcija $\phi \in S[a, b]$ įgyja reikšmes $y_1, y_2, \ldots, y_k$
atitinkamai intervaluose $I_1$, $I_2$, \ldots, $I_k$ (\/$\bigcap_{i=1}^k I_i = [a,\,b]$\/)
Funkcijos $\phi$ \Def{integralu} intervale $[a,\,b]$ vadinamas skaičius
\( \sum_{i=1}^k y_i |I_i|
\)
(čia $|I_i|$ -- intervalo $I_i$ ilgis).

Funkcijos $\phi$ integralas intervale $[a,\,b]$ žymimas
\[ \int_a^b \phi(x)\,\dx,
   \qquad
   \int_a^b \phi,
   \qquad
   \int_{[a,\,b]} \phi
\]
\end{ap}

\begin{tg}[Integralo apibrėžimo korektiškumas]				% 3.2
Laiptinės funkcijos integralo apibrėžimas ne\-pri\-klau\-so nuo
intervalo $[a,\,b]$ skaidinio funkcijos $\phi$ pastovumo intervalais.
\end{tg}

\begin{tg}[Laipsninių funkcijų integralo savybės]~\par			% 3.3
\begin{enumerate}
  \item (Tiesiškumas)
    Jei $\phi, \psi \in S[a, b]$, $\alpha, \beta \in \R$, tai
    \[ \int_a^b (\alpha \phi + \beta \psi)(x)\,\dx =
        \alpha \int_a^b \phi(x)\,\dx + \beta \int_a^b \psi(x)\,\dx
    \]
  \item (Adityvumas)
    Jei $\phi \in S[a, b]$, $a < c < b$, tai
    \[ \int_a^b \phi(x)\,\dx =
        \int_a^c \phi(x)\,\dx + \int_c^b \phi(x)\,\dx
    \]
  \item (Monotoniškumas)
    Jei $\phi, \psi \in S[a, b]$ ir $\phi \le \psi$, tai
    \[ \int_a^b \phi(x)\,\dx \le \int_a^b \psi(x)\,\dx
    \]
  \item
    \[ \left| \int_a^b \phi(x)\,\dx \right| \le \int_a^b \left|\phi(x)\right|\,\dx
    \]
\end{enumerate}
\begin{ps*}
Nemažindami bendrumo visada galime laikyti, kad dviejų laiptinių funkcijų $\phi$ ir
$\psi$ atitinkantys intervalo $[a,\,b]$ skaidiniai ir jų pastovumo intervalai sutampa.
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{ap}								% 3.4
Funkcijos $f \in D[a,b]$ \Def{integralu} intervale $[a,\,b]$ vadinama riba
\[
  \int_a^b f(x)\,\dx := \lim_{n \to \infty} \int_a^b \phi_n(x)\,\dx
\]
Čia $\phi_n$ -- bet kokia laiptinių funkcijų seka, tolygiai konverguojanti į $f$ intervale
$[a,\,b]$.
\end{ap}

\begin{tg}[Integralo egzistavimas ir apibrėžimo korektiškumas]		% 3.5
Apibrėžime nurodytos ribos vi\-sa\-da egzistuoja ir nepriklauso nuo
pasirinktos sekos $(\phi_n)$.
\end{tg}

\begin{pvz}								% 3.6
$f \in C[0, 1]$, $\phi_n(x) := \left\{\begin{array}{ll}
    f\left(\frac{k}{n}\right),& x \in \left[\frac{k}{n},\,\frac{k+1}{n}\right) \\
    f(1),& x = 1 \end{array}\right.$.
Jau įrodėme, kad $\phi_n \rightrightarrows f$.
\[
  \int_0^1 f(x)\,\dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \phi_n(x)\,\dx =
  = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n}
  = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)
\]
\begin{enumerate}
  \item $f(x) = x^2$, $x \in [0,\,1]$
        \(\displaystyle  \int_0^1 x^2\,\dx = \frac{1}{3}\)
  \item \(\displaystyle
        \lim_{n \to \infty} \frac{1^{100}+\cdots+n^{100}}{n^{101}}
        = \int_0^1 x^{100}\,\dx = \frac{1}{101}\)
\end{enumerate}
\end{pvz}

\begin{tg}[Integralo savybės]~\par					% 3.7
\begin{enumerate}
  \item (Tiesiškumas)
    Jei $f, g \in D[a, b]$, $\alpha, \beta \in \R$, tai
    \[ \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x)\,\dx =
        \alpha \int_a^b f(x)\,\dx + \beta \int_a^b g(x)\,\dx
    \]
  \item (Adityvumas)
    Jei $f \in D[a, b]$, $a < c < b$, tai
    \[ \int_a^b f(x)\,\dx =
        \int_a^c f(x)\,\dx + \int_c^b f(x)\,\dx
    \]
  \item (Monotoniškumas)
    Jei $f, g \in D[a, b]$ ir $f \le g$, tai
    \[ \int_a^b f(x)\,\dx \le \int_a^b g(x)\,\dx
    \]
  \item
    Jei $f \in D[a, b]$, tai
    \[ \left| \int_a^b f(x)\,\dx \right| \le \int_a^b \left|f(x)\right|\,\dx
    \]
  \item (Tolydumas tolygaus konvergavimo atžvilgiu)
    Jei $D[a, b] \ni f_n \rightrightarrows f$, tai
    \[ \int_a^b f_n(x)\,\dx \to \int_a^b f(x)\,\dx
    \]
  \item[5'.]
    Jei $\forall n \quad f_n \in D[a,b]$ ir $\sum_{n=1}^\infty f_n$ konverguoja tolygiai
    intervale $[a,\,b]$, tai
    \[ \int_a^b \left( \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \right)\,\dx
       = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)\,\dx
    \]
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{tg}\label{3.8}							% 3.8
Sakykime, $f \in D[a,b]$. Pažymėkime $F(x) := \int_a^x f(t)\,\dt$, $x \in [a,\,b]$
($F$ vadinsime integralu su kintamu viršutiniu rėžiu). Tada
\begin{enumerate}
  \item $F \in C[a, b]$ (tolydi)
  \item Jei $f$ tolydi taške $x \in [a,\,b]$, tai $F$ yra diferencijuojama taške
        $x_0$ ir $F'(x_0) = f(x_0)$. Atskiru atveju, jei $f$ yra toldyi visuose
        taškuose (\/$f \in C[a,b]$\/), tai $F$ yra $f$ pirmykštė funkcija.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{tg}[Niutono-Leibnico formulė]					% 3.9
Jei $F$ yra funkcijos $f \in C[a,b]$ pirmykštė funkcija intervale $[a,\,b]$,
tai $\int_a^b f(x)\,\dx = F(b) - F(a)$.
\end{tg}

\begin{pss}\label{3.10}~\par						% 3.10
\begin{enumerate}
  \item \label{3.10.1}
        Niutono-Leibnico formulė liks teisinga ir kai $a > b$, jei susitarsime, kad
        \[ \int_a^b f(x)\,\dx = - \int_b^a f(x)\,\dx \]
  \item Priimta žymėti
        \[ F(x) \Big|_a^b := F(b)-F(a) \]
        Tokiu atveju
        \[ \int_a^b f = F\Big|_a^b \]
  \item $F \in C[a,b]$ vadinama \Def{apibendrinta} funkcijos $f \in D[a,b]$ pirmykšte
        funkcija, jei $F'(x) = f(x)$ visuose funkcijos $f$ tolydumo taškuose.
        
        \ref{3.8} teginys teigia, kad kiekvienai funkcijai $f$ egzistuoja apibendrinta
        pirmykštė funkcija. Niutono-Leibnico formulė šiuo atveju irgi lieka teisinga.
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{tg}[Kintamojo keitimo formulė]					% 3.11
Jei $f \in C[a,b]$, $\phi \in C^1[\alpha, \beta]$, $R(\phi) \subset [a,\,b]$, 
$\phi(\alpha) = a$, $\phi(\beta) = b$, tai
\[\int_a^b f(x)\,\dx = \int_a^b f(\phi(t))\,\ud \phi(t) := \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\dt\]
\begin{ps*} Ši formulė teisinga ir kai $a > b$ ir/arba $\alpha > \beta$ (žr. 
\ref{3.10}.\ref{3.10.1}).
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{pvz}								% 3.12
\(\displaystyle
  \int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2}\,\dx = \frac{\pi a^2}{2}
\)
\end{pvz}

\begin{tg}[Integravimo dalimis formulė]					% 3.13
Jei $f, g \in C^1[a, b]$, tai
\[ \int_a^b f(x)g'(x)\,\dx = f(x)g(x)\Big|_a^b - \int_a^b g(x)f'(x)\,\dx
\]
arba trumpai
\[ \int_a^b f\,\ud g = fg\Big|_a^b - \int_a^b g\,\ud f
\]
\end{tg}

\begin{pvz}[Teiloro formulė su integraliniu liekamuoju nariu]		% 3.14
\label{3.14}
Tarkime, kad $f \in C^{n+1}[x_0, x]$. Tada
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
+ \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x f^{n+1}(t)(x-t)^n\,\dt
\end{eqnarray*}
\end{pvz}

\begin{tg}[Funkcijų sekų ir eilučių diferencijavimas panariui]		% 3.15
~\par
\begin{enumerate}
  \item Tarkime, kad
    \begin{enumerate}
      \item $\forall n \in \N \quad f_n \in C^1[a,b]$
      \item $\exists \lim_{n \to \infty} f_n(a) \in \R$
      \item $f_n' \rightrightarrows g$
    \end{enumerate}
    Tada $f_n \rightrightarrows f \in C[a,b]$ ir $\lim_{n \to \infty} f_n'(x)
    = f'(x)$ (\/$= g(x)$\/).
  \item Jei
    \begin{enumerate}
      \item $\forall n \in \N \quad f_n \in C^1[a,b]$
      \item $\sum_{n=1}^\infty f_n(a)$ konverguoja.
      \item $\sum_{n=1}^\infty f_n'(a)$ konverguoja tolygiai intervale $[a,\,b]$.
    \end{enumerate}
    Tada $\left( \sum_{n=1}^\infty f_n(a) \right)' = \sum_{n=1}^\infty f_n'(a)$
    intervale $[a,\,b]$.
\end{enumerate}
\begin{ps*}
$f_n'$ tolygus konvergavimas yra esminis. Pvz., $f_n(x) = \frac{1}{n}\sin(nx)
\rightrightarrows 0$, $x \in \R$, bet $f_n'(x) = \cos (nx)$ konverguoja tik
taške $x = 0$, ir tai $f_n'(x) \ne 0$.
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{isv}[Laipsninės eilutės diferencijavimas panariui]		% 3.16
Laipsninę eilutę galima diferencijuoti panariui jos konvergavimo intervale:
\[
  \left( \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n \right)' =
  \sum_{n=1}^\infty n c_n (x-a)^{n-1}
  \qquad x \in (a-R,\,a+R)
\]
Čia $R$ -- eilutės konvergavimo spindulys.
\begin{ps*}
Dėl panašios priežasties laipsninę eilutę galima integruoti panariui:
\[
  \int_a^x \sum_{n=0}^\infty \left( c_n (t-a)^n \right) \,\dt 
  = \sum_{n=0}^\infty c_n \int_a^x (t-a)^n ,\dt
  = \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}
  \qquad x \in (a-R,\,a+R)
\]
\end{ps*}
\end{isv}

\begin{pvzz}~\par							% 3.17
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle 
           f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}, \quad x \in (-1,\,1)
	\)
        \[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} 
	   \qquad x \in (-1,\,1)    
	\]
  \item \(\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^n, \quad x \in (-1,\,1)
        \)
        \[ f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}
	   \qquad x \in (-1,\,1)    
	\]
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}[Vidutinės reikšmės teorema]					% 3.18
Jei $f, g \in D[a, b]$, $m \le f(x) \le M$, $x \in [a,\,b]$, $g \ge 0$
(arba $g \le 0$\/), tai $\exists \mu \in [m, M]$:
\[
  \int_a^b fg = \mu \int_a^b g
\]
Jei be to $f \in C[a,b]$, tai $\exists c \in [a,\,b]$:
\[
  \int_a^b fg = f(c) \int_a^b g
\]
Atskiru atveju, kai $f \in C[a,b]$, $g \equiv 1$, $\exists c \in [a,\,b]$:
\[
  \int_a^b f = f(c) \cdot (b-a)
\]
\end{tg}

\begin{pvz}[\ref{3.14} tęsinys]						% 3.19
\[
  R_n(x_0, x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x f^{n+1}(t)(x-t)^n\,\dt
\]
\begin{enumerate}
  \item (Lagranžo pavidalo liekamasis narys)
        Vidutinės reikšmės teoremoje imkime $f := f^{n+1}(t)$, o $g := (x-t)^n$,
	$a = x_0$, $b = x$. Tada $\exists c \in [x_0,\,x]:$
	\[
	  R_n(x_0, x) = \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
	\]
  \item (Koši pavidalo liekamasis narys)
        Imkime $f := f^{(n+1)}(t)(x-t)^n$, $g := 1$. Tada
	\[
	  R_n(x_0, x) = \frac{f^{n+1}(c)(x-c)^n(x-x_0)}{n!}
	\]
   \item (Peano pavidalo liekamasis narys)
        $f \in C^n[x_0, x]$
        \begin{eqnarray*}
	  f(x) &=& \ldots = P_n(x_0, x) + \frac{1}{(n-1)!} \int_{x_0}^x
           \left( f^{(n)}(t) - f^{(n)}(x_0) \right)(x-t)^{n-1}\,\dt =\\
	   &=& P_n(x_0, x) + Q_n(x_0, x) \\
	  \left| Q_n(x_0, x) \right| &\le& 
	    \max_{t\in[x_0,\,x]} \left|f^{(n)}(t)-f^{(n)}(x_0)\right| \cdot
	      \frac{1}{(n-1)!} \int_{x_0}^x (x-t)^{n-1}\,\dt =\\
	  &=& \max_{t\in[x_0,\,x]} \left|f^{(n)}(t)-f^{(n)}(x_0)\right| \cdot
	      \frac{|x-x_0|^n}{n!} = o\left(|x-x_0|^n\right)
	\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{pvz}


\section{Integralo taikymai}						% 4

\begin{ap}[Kreivinės trapecijos plotas]					% 4.1
$A := \left\{ (x,\,y):\quad f_1(x) \le y \le f_2(x), a \le x \le b \right\}
\subset \R^2$, $f_1, f_2 \in D[a, b]$, $f_1 \le f_2$
Tokia figūra vadinama \Def{kreivine trapecija}.

Jei $f_1, f_2 \in S[a, b]$, tai $A$ plotas yra
$S(A) = \int_a^b \left(f_2(x)-f_1(x)\right)\,\dx$

Bendru atveju šią lygybę laikysime kreivinės trapecijis \Def{ploto} $S(A)$ apibrėžimu.
\end{ap}                

\begin{pvz}[Elipsės plotas]						% 4.2
\[ A := \left\{ (x,\,y):\quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1 \right\}
\]
\[ A = \left\{ (x,\,y):\quad |y| \le b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}, \quad -a \le x \le a \right\}
\]
\[
  S(A) = \int_{-a}^a 2b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,\dx = \frac{2b}{a} \int_{-a}^a
  \sqrt{a^2-x^2}\,\dx = \frac{2b}{a} \cdot \frac{\pi a^2}{2} = \pi a b 
\]
\end{pvz}

\begin{ap}[Kūnų tūrių skaičiavimai]					% 4.3
Aibės (kūno) $A \subset \R^3$ \Def{pjūviu} taške $x \in \R$ vadinama aibė
\[ A_x := \left\{ (y,\,z):\quad (x,\,y,\,z) \in A \right\} \subset \R^2
\]
Jei $A_x = \emptyset$ kai $x \not\in [a,\,b]$, tai kūno $A$ \Def{tūriu} vadinsime
skaičių
\[ V(A) := \int_a^b S(A_x) \,\dx
\]                              
su sąlyga, kad integralas egzistuoja.
\end{ap}

\begin{pvzz}~\par							% 4.4
\begin{enumerate}
  \item (Sukinio tūris)
  
        $A = \left\{ (x,\,y,\,z):\quad a \le x \le b, \quad y^2+z^2 \le f^2(x) \right\}$,
        $f(x) \ge 0$, $x \in [a,\,b]$.
        \[ V(A) = \int_a^b \pi f^2(x) \,\dx = \pi\int_a^b f^2(x)\,\dx
        \]
  \item (Rutulio tūris)                                                                 
  
        $A = \left\{ (x,\,y,\,z):\quad x^2+y^2+z^2 \le R^2 \right\} 
           = \left\{ (x,\,y,\,z):\quad x \in [-R,\,R], \quad y^2+z^2 \le R^2-x^2 =: f^2(x) \right\}$.
        \[ V(A) = \pi \int_{-R}^R (R^2-x^2) \,\dx = \pi \left(R^2x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-R}^R =
           \pi \left( \frac{2R^3}{3} - \left( \frac{2R^3}{3} \right) \right) =
           \frac{4\pi R^3}{3}
        \]
  \item (Piramidės tūris)  
  	Pasirinkime koordinačių sistemą: viršūnė taške $(0,0,0)$, aukštinės
  	pagrindas -- $(H,0,0)$. $S$ -- pagrindo plotas.
  	\[ S(A_x) = \frac{x^2}{H^2} \cdot S \]
  	\[ V(A) = \int_0^H \frac{x^2}{H^2} \cdot S \,\dx =
  	   \frac{S}{H^2} \int_0^H x^2\,\dx = \frac{S}{H^2} \frac{x^2}{3} \Big|_0^H
  	   = \frac{SH}{3} \]
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 4.5
Funkcijos $f: [a,\,b] \to \R^k$ vadinamos \Def{vektorinėmis realaus kintamojo
funkcijomis}. Tokią funkciją galima apibrėžti taip:
$f(x) = \left( f_1(x),\, f_2(x), \ldots,\, f_k(x) \right)$, $x \in [a,\,b]$,
$f_i : [a,\,b] \to \R$, $i = 1,2,\ldots,k$.
Funkcijos $f_i$ vadinamos funkcijos $f$ \Def{koordinatinėmis funkcijomis}.

Sakome, kad $f : [a,\,b] \to \R^k$ yra tolydi (diferencijuojama, integruojama ir
t.t.), jei visos jos koordinatinės funkcijos yra tolydžios (atitinkamai diferencijuojamos
ir t.t.).

Tokios funkcijos išvestinė
\[f'(x) = \left( f_1'(x),\, f_2'(x), \ldots,\, f_k'(x) \right)\]
o integralas
\[\int_a^b f(x)\,\dx = \left( \int_a^b f_1(x)\,\dx,\, \int_a^b f_2(x)\,\dx, \ldots,\, 
\int_a^b f_k(x)\,\dx \right)\] 
\end{ap}

\begin{tg}~\par								% 4.6
\begin{enumerate}
  \item Jei $F \in C^1([a,\,b], \R^k)$ (t.y. $F:[a,\,b]\to \R^k$ ir $F \in C^1[a,b]$\/),
        tai \[ \int_a^b F'(x)\,\dx = F(b)-F(a) \]
  \item Jei $F \in D([a,\,b], \R^k)$, tai 
        \[ \left| \int_a^b f(x)\,\dx \right| \le \int_a^b \left|f(x)\right|\,\dx
        \]
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ap}								% 4.7
Tolydi funkcija $\gamma: [a,\,b] \to \R^k$ vadinama \Def{kreive} erdvėje $\R^k$.
Tolydžiai diferencijuojamos kreivės vadinamos \Def{glodžiomis} (kartais papildomai
reikalaujama, kad $\forall x \in [a,\,b] \quad \gamma'(x) \ne 0$\/).

Kreivė $\gamma$ vadinamą \Def{ištiesinama}, jei 
\[ l(\gamma) = l(\gamma, a, b) :=
\sup \Big\{ \sum_{k=1}^m \big| \gamma(x_k) - \gamma(x_{k-1}) \big| : \quad 
a = x_0 < x_1 < \ldots < x_m = b, \quad m \in \N \Big\} < +\infty \]

Skaičius $l(\gamma)$ vadinamas kreivės \Def{ilgiu}.
\end{ap}

\begin{pss}~\par\label{4.8}						% 4.8
\begin{enumerate}
  \item Kreive dažnai patogu vadinti ne atvaizdį $\gamma : [a,\,b] \to \R^k$, 
        o vaizdą $\Gamma = \gamma([a,\,b]) \subset \R^k$. Tada funkcija $\gamma$
        vadinama kreivės $\Gamma$ \Def{parametrizacija}.
  \item \label{4.8.2}
        Kreivės ir jos ilgio apibrėžimai prasmingi ir kai $k = 1$. Tokiu atveju
        kreivės ilgis $l(\gamma)$ dar vadinamas funkcijos $\gamma$ \Def{variacija}.
        Jei $l(\gamma) < +\infty$, $\gamma$ vadinama \Def{baigtinės variacijos 
        funkcija}.
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{tr}[Kreivės ilgio formulė]\label{4.9}				% 4.9
Kiekviena glodi kreivė $\gamma: [a,\,b] \to \R^k$ yra ištiesinama ir
\[
  l(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(x)| \,\dx =
  \int_a^b \sqrt{\gamma_1'^2(x)+\cdots+\gamma_1'^k(x)} \,\dx =
\]
\end{tr}

\begin{pseudoisv}{$\mathbf{\ref{4.9}'}$}				% 4.9^2
Jei $\tau : [\alpha,\,\beta] \to [a,\,b]$ yra griežtai didėjanti (mažėjanti)
tolydžiai diferencijuojama bijekcija ir $\tilde{\gamma} := \gamma \circ \tau
: [\alpha,\,\beta] \to \R^k$, tai $l(\tilde{\gamma}) = l(\gamma)$.
(Kreivės ilgis nepriklauso nuo parametrizacijos.)
\end{pseudoisv}

\begin{pvz}[Bendra integralo taikymų schema]\label{4.10}		% 4.10
Tarkime, norime apibrėžti dydį $Q = Q[a,b]$, kuris 
\begin{enumerate}
  \item priklauso nuo intervalo $[a,\,b]$
  \item turi adityvumo savybę:
        \[ Q[a,b] = Q[a,c] + Q[c,b], \quad c \in [a,\,b]
        \]
\end{enumerate}
Tarkime, kad dėl kokių nors priežasčių turime pagrindo manyti, jog labai siauram
intervalui $Q[x, x+\dx] \approx q(x)\,\dx$, kai $\dx$ -- ``mažas''. Tada natūralu
apibrėžti
\[
  Q[a, b] = \int_a^b q(x)\,\dx
\]
\end{pvz}

\begin{pvz}[Sukimosi paviršiaus plotas]					% 4.11
Tarkime, kad glodi kreivė $\gamma: [\alpha,\,\beta] \to \R^2$ apsukama apie $Ox$ ašį.
Sakykime, kad $\gamma(t) = \left(x(t), y(t)\right)$, $y(t) \ge 0$, $t \in [\alpha,\,\beta]$.
Paimkime fiksuotą $t \in [\alpha,\,\beta]$ ir nagrinėkime juostelę nuo $t$ iki $t+\dt$.
$S[t, t+\dt]$ apytikriai sudaro nupjautinį kūgį, kurio pagrindų spinduliai yra $r \approx
y(t)$ ir $R = y(t+\dt)$ o sudaromoji $L \approx \int_t^{t+\dt} \big|\gamma'(s)\big|\,\ud s
\approx \big|\gamma'(t)\big|\,\dt$.
Iš čia   
\[ S[t,t+\dt] \approx \pi (r+R) L \approx \pi \big(y(t)+y(t+\dt)\big) \big|\gamma'(t)\big|\,\dt
\approx 2\pi y(t) \big|\gamma'(t)\big|\,\dt
\]                                         
Remiantis \ref{4.10}
\[
  S = S[\alpha, \beta] = \int_\alpha^\beta 2\pi y(t) \big|\gamma'(t)\big|\,\dt
  = 2\pi\int_\alpha^\beta y(t) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} \,\dt
\]
Reiškinys $\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)}$ vadinamas \Def{kreivės ilgio diferencialu} $\ud l(t)$.
Taigi,
\[ S = 2\pi \int_\alpha^\beta y(t) \,\ud l(t)
\]
\end{pvz}

\begin{pvzz}[Kreivės ilgis]~\par							% 4.12
\begin{enumerate}
  \item $y = f(x)$, $x \in [a,\,b]$
  	Galime imti parametrizaciją $\gamma(t) = (t, f(t))$, $t \in [a,\,b]$. Remiantis
  	\ref{4.9}, $l(\gamma) = \int_a^b \sqrt{1+f'^2(x)}\,\dx$.
  \item (Kreivė polinėse koordinatėse)
        $r = r(\phi)$, $\phi \in (\phi_1,\,\phi_2)$
        Parametrizacija: $\gamma(t) = \big(r(t)\cos t, r(t)\sin t\big)$, $t \in (\phi_1,\,\phi_2)$.
        \begin{eqnarray*}
        l(\gamma) &=& \int_{\phi_1}^{\phi_2}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\dt
        = \int_{\phi_1}^{\phi_2}\sqrt{(r'(t)\cos t - r(t)\sin t)^2 + (r'(t)\sin t + r(t)\cos t)^2}\,\dt =\\
        &=& \int_{\phi_1}^{\phi_2}\sqrt{r'^2(t)+r^2(t)}\,\dt
        \end{eqnarray*}
  \item (Apskritimo ilgis)
        Parametrizacija: $\gamma(t) = \big(r\cos t, r\sin t\big)$, $t \in (0,2\pi)$.
  	\[ l(\gamma) = \int_0^{2\pi} \sqrt{0+r^2}\,\dt = 2\pi r
  	\]
  \item (Kardioidė)
        $r(\phi) = 1 + \cos \phi$, $\phi \in [0,\,2\pi]$
        \[ l = \ldots = 8
        \]
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{pvz}[Sferos plotas]						% 4.13
Sukam apskritimą polinėse koordinatėse: $r(\phi) = R$, $\phi \in [0,\,\pi]$
\[
  S = 2\pi \int_0^\pi \underbrace{R \sin \phi}_{y} \cdot \underbrace{R \,\ud\phi}_
  {\ud l(\phi)} = 2\pi R^2(-\cos \phi)\Big|_0^\pi = 4\pi R^2
\]
\end{pvz}

\begin{pvz}[Kreivinio sektoriaus plotas]				% 4.14
$r = r(\phi)$, $\phi \in [\phi_1,\,\phi_2]$. Plotas $S = S[\phi_1,\phi_2]$ tenkina
adityvumo savybę ir
\[ S[\phi, \phi+\ud\phi] \approx \frac{r(\phi)^2\ud\phi}{2}
\]
Taigi, galime apibrėžti
\[ S[\phi_1,\phi_2] := \frac{1}{2}\int_{\phi_1}^{\phi_2} r^2(\phi)\,\ud\phi
\]

\begin{pvz*} (Kardioidės plotas)
$r(\phi) = 1+\cos\phi$.
\[ S = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (1+\cos\phi)^2\,\ud\phi
     = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \left(1+\frac{1+\cos 2\phi}{2}\right)\,\ud\phi
     = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{2}
\]
\end{pvz*}
\end{pvz}

\begin{pvzz}[Taikymai mechanikoje]~\par					% 4.14
\begin{enumerate}
  \item (Kintamos jėgos darbas)
        Taškui judant intervale $[a,\,b]$ taške $x$ jį veikia jėga $F(x)$. Tos jėgos
        atliekamas darbas intervale $[x,x+\dx] \approx F(x)\,\dx$. Iš čia
        \[ A = A[a,\,b] = \int_a^b F(x)\,\dx
        \]
        (jei jėga $F_1(x)$ veikia kampu $\alpha(x)$, imame $F(x) := F_1(x) \cos \alpha(x)$\/).
  \item (Kreivės statinis momentas ir masės centras)
        Tarkime, kad turime materialių taškų su masėmis $m_1, m_2, \ldots, m_k$ sistemą 
        plokštumoje. Šios sistemos \Def{statiniu momentu} tiesės $l$ atžvilgiu vadinamas
        skaičius $\sum_{i=1}^k d_i m_i$, čia $d_i$ -- atstumas nuo $i$-tojo taško iki tiesės
        (vienoje tiesės pusėje teigiamas, kitoje neigiamas).
        
        Šios sitemos \Def{masės centru} vadinamas toks taškas, kuriame sukoncentravus
        visą sistemos masę, jos statiniai momentai bet kokių tiesių atžvilgiu nepasikeis.
        
        Tarkime, turime kreivę $\gamma: [a,\,b] \to \R^2$, kurios masė proporcinga ilgiui.
        Bandykime apibrėžti statinį momentą $M_x = M_x[a,b]$ $Ox$ ašies atžvilgiu.
        $M[t, t+\Delta t] \approx y(t) \int_{t}^{t+\Delta t} \big|\gamma'(s)\big|\,\ud s
        \approx y(t)\big|\gamma'(s)\big|\Delta t$.
        Tada 
        \[ M_x := \int_a^b y(t)\big|\gamma'(t)\big|\,\dt = \int_a^b y\,\ud l
        \]                                                                  
        analogiškai
        \[ M_y := \int_a^b x\,\ud l
        \]                  
        
        Tarkime, kreivės masė $M = \int_a^b\big|\gamma'(t)\big|\,\dt$ (t.y. lygi ilgiui).
        Masės centro koordinatės yra $(x_0, y_0)$. Tada $M_x = M \cdot y_0$, $M_y = M \cdot x_0$,
        taigi masės centras yra taške $\left(\frac{M_y}{M},\frac{M_x}{M}\right)$.
        
  \item (Kreivinės trapecijos statinis momentas ir masės centras)
        Kreivinė trapecija $A = \{(x,y): \quad a\le x \le b, \quad f_1(x) \le y \le f_2(x) \}$.
        Tarkime, kad masė proporcinga plotui. Tada
        \begin{eqnarray*}
          M[x, x+\Delta x] &\approx& \underbrace{(f_2(x)-f_1(x))\Delta x}_{\textrm{masė}}
          \cdot \underbrace{\frac{f_1(x)+f_2(x)}{2}}_{\textrm{atstumas nuo $Ox$ iki masės centro}}
          = \\
          &=& \frac{f_2^2(x)-f_1^2(x)}{2}\Delta x \\
          M_x &=& \frac{1}{2}\int_a^b\big(f_2^2(x)-f_1^2(x)\big)\,\dx	\\
          M_y &=& \int_a^b x\big(f_2(x)-f_1(x)\big)\,\dx \\
          x_0 &=& \frac{M_y}{M} \\
          y_0 &=& \frac{M_x}{M}
        \end{eqnarray*}                          
  \item (Pusapskritimio ir pusskritulio masių centrai)
        $r(\phi) = R$, $\phi \in [0, \pi]$,
        $y(\phi) = R \sin \phi$,
        $\ud l = R \,\ud \phi$
        \begin{eqnarray*}
          M_x &=& \int_0^\pi y(\phi) R \,\ud\phi 
              = R^2 \int_0^\pi \sin \phi \,\ud\phi 
              = 2R^2 \\
          M_y &=& \int_0^\pi x(\phi) R \,\ud\phi 
              = 0 \\
          x_0 &=& 0 \\
          y_0 &=& \frac{2R}{\pi}
        \end{eqnarray*}         
        
        Pusskrituliui analogiškai
        \begin{eqnarray*}
          x_0 &=& 0 \\
          M_x &=& \frac{1}{2}\int_{-R}^R (\sqrt{(R^2-x^2)^2} - 0^2) \,\dx
              = \frac{1}{2} \left(R^2 x - \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{-R}^R
              = \frac{2R^3}{3} \\
          y_0 &=& \frac{4R}{3\pi}
        \end{eqnarray*}         
\end{enumerate}
\end{pvzz}


\section{Kiti integralo apibrėžimai (Rymano ir Styltjeso)}		% 5

\begin{ap}								% 5.1
Intervalo $[a,\,b]$ \Def{skaidiniu} vadinama bet kokia baigtinė sutvarkyta
intervalo $[a,\,b]$ taškų aibė $P = \{ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_k = b \}$
(\/$k \ge 2$\/). Intervalai $[x_i, x_{i+1}]$ (\/$i = 0, \ldots, k-1$\/) vadinami
\Def{skaidinio $P$ intervalais}. Skaičius $|P| := max_{0 \le i \le k-1} |x_{i+1}-x_i|$
-- skaidinio $P$ \Def{diametru} (\Def{smulkiu}, \Def{skersmeniu} ir t.t.). Skaičių rinkinys
$\xi = (\xi_0, \ldots, \xi_{k-1})$ vadinamas skaidinio $P$ \Def{tarpiniu skaidiniu},
jei $\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]$, $i = 0, \ldots, k-1$.

Funkcijos $f: [a,\,b] \to \R$ \Def{Rymano integraline suma}, atitinkančia skaidinį
$P$ ir tarpinį skaidinį $\xi$, vadinamas skaičius 
\[ S(f, P, \xi) := \sum_{i=0}^{k-1} f(\xi_i)\Delta x, \qquad \Delta x_i:= x_{i+1}-x_i
\]                                                                                     
Rašysime $J = \lim_{|P|\to 0} S(f, P, \xi)$, jei $\forall \epsilon > 0 \quad \exists
\delta > 0: |S(f, P, \xi) - J| < \epsilon$, kai $|P| \le \delta$ (nepriklausomai nuo
$P$ ir $\xi$ pasirinkimo). Tokiu atveju sakoma, kad $f$ yra \Def{integruojama Rymano
prasme} intervale $[a,\,b]$, o skaičius $J$ vadinamas funkcijos $f$ \Def{Rymano
integralu} intervale $[a,\,b]$. Jį žymėsime
\[ (R) \int_a^b f(x)\,\dx \qquad \textrm{arba trumpai} \qquad (R) \int_a^b f
\]                                                                        
Visų Rymano prasme integruojamų intervale $[a,\,b]$ funkcijų aibę žymėsime $R[a,b]$.
\end{ap}

\begin{pss}~\par							% 5.2
\begin{enumerate}
  \item (Apibrėžimas ``sekų kalba'')
        Sakysime, kad $J = \lim_{|P|\to 0} S(f, P, \xi)$, jei $\forall$ sekai $(P^n, \xi^n)$,
        su kuria $|P^n| \to 0$, turime $J = \lim_{n \to \infty} S(f, P^n, \xi^n)$
  \item Atkreipkime dėmesį, kad
        \[ S(f, P, \xi) = \int \phi(x) \,\dx, \qquad
           \phi(x) := \left\{ \begin{array}{ll} f(\xi_i) & x \in [x_i, x_{i+1})\\
                                                f(b) & x = b
                              \end{array} \right.
        \]
        Todėl $J = \lim_{n \to \infty} S(f, P^n, \xi^n) = \lim_{n \to \infty}
        \int_a^b \phi(x) \,\dx$, be to $\phi_n \to f$ (nebūtinai tolygiai).
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{tg}[Rymano integralo savybės]~\par				% 5.3
\begin{enumerate}
  \item Jei $f \in R[a,b]$, tai $f$ yra aprėžta intervale $[a,\,b]$.
  \item (Tiesiškumas)
        Jei $f, g \in R[a,b]$, $\alpha, \beta \in \R$, tai $\alpha f + \beta g \in R[a,b]$ ir
        \[ (R) \int_a^b(\alpha f + \beta g)\,\dx = \alpha (R) \int_a^b f\,\dx
           + \beta (R) \int_a^b g\,\dx
        \]
   \item (Monotoniškumas)
         Jei $f, g \in R[a,b]$ ir $f \le g$, tai
         \[ (R) \int_a^b f\,\dx \le (R) \int_a^b g\,\dx
         \]                                           
         Atskiru atveju
         \[ \left| (R) \int_a^b f\,\dx \right| \le (R) \int_a^b |f| \,\dx
         \]
   \item Jei $R[a,b] \ni f_n \rightrightarrows f$ intervale $[a,\,b]$, tai $f \in R[a,b]$ ir
         \[ (R) \int_a^b f_n\,\dx \to (R) \int_a^b f\,\dx
         \]
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{tg}[``Mackevičiaus'' ir Rymano integralų palyginimai]		% 5.4
$D[a,b] \subset R[a,b]$ (be to, $D[a,b] \ne R[a,b]$\/) ir $\int_a^b f = (R) \int_a^b f$,
jei $f \in D[a,b]$.
\begin{ps*} Nuo šiol prieš Rymano integralą neberašysime $(R)$.
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{ap}								% 5.5
Funkcijos $f:[a,b] \to \R$ \Def{variacija} intervale $[a,\,b]$ vadinamas skaičius
\[V(f, a, b) := \sup \Big\{\sum_{i=0}^{k-1} |f(x_{i+1}) - f(x_i)|: \quad 
  a = x_0 < x_1 < \ldots < x_k = b, \quad k \in \N \Big\} \le +\infty
\]
(formaliai tai yra kreivės vienmatėje erdvėje ilgis. Žr. \ref{4.8}.\ref{4.8.2}).

Jei $V(f) := V(f, a, b)$ (kai $a, b$ aiškūs iš konteksto) $< +\infty$, tai sakoma,
kad $f$ \Def{turi baigtinę variaciją} intervale $[a,\,b]$ arba yra \Def{baigtinės
variacijos funkcija}. Visų tokių funkcijų aibę žymėsime $V[a,b]$.

\begin{ps*}
Formaliai baigtinės variacijos funkcija -- tai ištiesinama kreivė erdvėje $\R$,
o jos variacija -- kreivės ilgis.
\end{ps*}
\end{ap}

\begin{tg}~\par								% 5.6
\begin{enumerate}
  \item Jei funkcija $f: [a,\,b] \to \R$ turi aprėžtą išvestinę intervale $[a,\,b]$,
        išskyrus galbūt baigtinį skaičių pirmo tipo trūkio taškų, tai $f \in V[a,b]$.
        Atskiru atveju, jei $f \in C^1[a,b]$, tai $f \in V[a,b]$ ir $V(f,a,b) =
        \int_a^b |f'(x)|\,\dx$.
  \item Jei $f$ yra dviejų didėjančių funkcijų skirtumas, tai $f \in V[a,b]$.
\end{enumerate}
\begin{ps*}
Bet kurią baigtinės variacijos funkciją galima išreikšti dviejų didėjančių funkcijų
skirtumu.
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{ap}								% 5.7
Sakykime, funkcija $f \in S[a,b]$ įgyja reikšmes $y_k$ intervaluose $I_k$ ($k = 0, 1,
\ldots, m-1$) su galais $x_k$ ir $x_{k+1}$ (\/$I_k$ uždarumas nesvarbus). Funkcijos
$f$ \Def{Styltjeso integralu} funkcijos $g \in V[a,b]$ atžvilgiu vadinamas skaičius
\[ 
  \int_a^b f\,\ud g = \int_a^b f(x)\,\ud g(x) :=
  \sum_{k=0}^{m-1} y_k \cdot \big(g(x_{k+1})-g(x_k)\big)
\]                                                      
Funkcijos $f\in D[a,b]$ Styltjeso integralu funkcijos $g \in V[a,b]$ atžvilgiu vadinamas
skaičius
\[ \int_a^b f\,\ud g = \lim_{n \to \infty} \int_a^b \phi_n\,\ud g
\]                                                               
kur $S[a,b] \ni \phi_n \rightrightarrows f$.
\end{ap}

\begin{tg}~\par								% 5.8
\begin{enumerate}
  \item (Styltjeso integralo egzistavimas ir korektiškumas)
        Apibrėžime nurodyta riba visada egzistuoja ir nepriklauso nuo $(\phi_n)$ pasirinkimo.
  \item $f \in D[a,b]$, $g \in V[a,b]$, tada
        \[
          \left|\int_a^b f\,\ud g\right| \le \|f\| \cdot V(g)
        \]                                                   
        čia $\|f\| := \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|$ -- funkcijos $f$ \Def{norma}.
  \item Jei $f \in C[a,b]$ ir $g \in C^1[a,b]$, tai
        \[ \int_a^b f(x)\,\ud g(x) = \underbrace{\int_a^b f(x) g'(x)\,\dx}_
        \textrm{``Mackevičiaus'' integralas}
        \]
\end{enumerate}
\begin{ps*}
Su 3) savybe (\/$\ud g(x) = g'(x)\,\dx$\/) formalus diferencialo naudojimas įgyja konkretesnę
prasmę.
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{tg}~\par								% 5.9
\begin{enumerate}
  \item (Kintamojo keitimo ir Niutono-Leibnico formulės)
        Jei $f\in C[a,b]$, o $\phi \in C[\alpha,\beta]\cap V[\alpha,\beta]$,
        $R(\phi) \subset [a,\,b]$, tai
        \[
          \int_\alpha^\beta f\big(\phi(t)\big) \,\ud \phi(t)
          = \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(x)\,\dx
          = F\big(\phi(\beta)\big) - F\big(\phi(\alpha)\big)
        \]                                  
        (čia $F' = f$, t.y. $F$ yra $f$ pirmykštė funkcija).
  \item (Integravimo dalimis formulė)
        Jei $f, g \in C[a,b] \cap V[a,b]$, tai
        \[
           \int_a^b f\,\ud g = fg \Big|_a^b - \int_a^b g\,\ud f
        \]
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{pss}~\par							% 5.10
\begin{enumerate}
  \item Žr. Mackevičiaus vadovėlį (dėl nebūtino funkcijos tolydumo).
  \item Galima būtų apibrėžti Rymano-Styltjeso integralą, bet neapsimoka:
        Lebego integralas apima visus atvejus.
\end{enumerate}
\end{pss}


\section{Netiesioginiai integralai}					% 6

\begin{ap}								% 6.1
$f \in D[a,b)$, $-\infty < a < b \le +\infty$. Jei $\exists \lim_{c\uparrow b}
\int_a^c f(x)\,\dx \in \overline{R}$, tai ši riba vadinama funkcijos $f$
\Def{netiesioginiu integralu} (NI) intervale $[a,b)$. Žymime kaip ir
anksčiau: $\int_a^b f(x)\,\dx$. Kartais žymima $\int_a^{b-0} f(x)\,\dx$ 
(jei $b < +\infty$\/).

Jei NI $\int_a^b f(x)\,\dx \in \R$, tai sakoma, kad NI $\int_a^b f(x)\,\dx$
\Def{konverguoja}, priešingu atveju -- \Def{diverguoja}

Analogiškai apibrėžiamas NI intervale $(a, b]$.

Jei $f \in D(a, b)$, $-\infty \le a < b \le +\infty$, tai NI
\[
  \int_a^b f(x)\,\dx = \int_a^c f(x)\,\dx + \int_c^b f(x)\,\dx, 
  \qquad c \in (a, b)
\]
su sąlyga, kad visi NI egzistuoja ir dešinėje negauname neapibrėžumo.
\end{ap}

\begin{pss}~\par							% 6.2
\begin{enumerate}
  \item Galima apibrėžti netiesioginį Rymano integralą. $f: [a,b)\to\R$ ir
        $\forall c < b \quad f \in R[a,c]$. Toliau analogiškai
	\[ (R) \int_a^b f = \lim_{c \uparrow b} (R) \int_a^c f
	\]
  \item Jei $f \in D[a,b)$ ir $f \ge 0$, tai NI $\int_a^b f(x)\,\dx$
        egzistuoja (nes $\int_a^c f(x)\,\dx$, $c \in [a,b)$ -- didėjanti
	funkcija). Tokiu atveju galime rašyti
	\[
	  \int_a^b f(x)\,\dx \textrm{ konverguoja}
            \Longleftrightarrow
	  \int_a^b f(x)\,\dx < +\infty
	\]
  \item Čia ir toliau visus teiginius formuluojame funkcijoms iš $D[a, b)$,
        nes atvejai $D(a, b]$ yra analogiški.
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{pvzz}~\par							% 6.3
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle
          \int_a^b \frac{dx}{(b-x)^p} < +\infty
           \quad \Longleftrightarrow \quad
	  p < 1
        \)
  \item[1'] \(\displaystyle
          \int_0^1 \frac{dx}{x^p} < +\infty
           \quad \Longleftrightarrow \quad
	  p < 1
        \)
  \item \(\displaystyle
          \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} < +\infty
           \quad \Longleftrightarrow \quad
	  p > 1
        \)
  \item \(\displaystyle
          \int_0^\infty e^{-x}\,\dx = 1
        \)
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}[Netiesioginių integralų palyginimas]				% 6.4
Sakykime, $f, g \in D[a,b)$. Tada
\begin{enumerate}
  \item $0 \le f \le g \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b f \le \int_a^b g$
        Atskiru atveju, jei $\int_a^b g < +\infty$, tai $\int_a^b f < +\infty$
	(jei $g$ konverguoja, tai $f$ irgi konverguoja) ir atvirkščiai, jei
	$\int_a^b f = +\infty$, tai ir $\int_a^b g = +\infty$.
  \item Jei $f, g \ge 0$ ir $\exists \mu = \lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)}
        \in [0, +\infty)$ ir $\int_a^b g < +\infty$, tai $\int_a^b f < +\infty$.
	Atskiru atveju, kai $\mu \in (0,+\infty)$ turime
	$\int_a^b f < +\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \int_a^b g < +\infty$
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 6.5
\begin{enumerate}
  \item (Oilerio tikimybinis integralas)
        \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,\dx = 2 - e^{-1} < +\infty \)
  \item \(\displaystyle \int_1^{+\infty} x^{\alpha} e^{-x^\beta}\,\dx < +\infty \)
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{ap}								% 6.6
Sakoma, kad NI $\int_a^b f(x)\,\dx$ \Def{konverguoja absoliučiai}, jei
$\int_a^b |f(x)| \,\dx < +\infty$. Jei NI $\int_a^b f(x)\,\dx$ konverguoja,
bet $\int_a^b |f(x)|\,\dx = +\infty$, sakoma, kad jis \Def{konverguoja
reliatyviai}.
\end{ap}

\begin{tg}								% 6.7
Jei NI $\int_a^b f(x)\,\dx$ konverguoja absoliučiai, tai jis konverguoja.
\end{tg}

\begin{pss}								% 6.8
``Teisingai'' perėję prie ribos NLF, KKF ir IDF gausime atitinkamas
formules ne\-tie\-sio\-gi\-niams integralams.
\begin{enumerate}
  \item (NLF) $\int_a^c f(x)\,\dx = F(c)-F(a)$, $a \le c < b$
        Pereikime prie ribos:
	$\int_a^b f(x)\,\dx = F(b)-F(a)$, kur $F(b) := \lim_{c\uparrow b}F(c)$.
	Tiksliau būtų rašyti
	\[ \int_a^{b-0} f(x)\,\dx = F(b-0)-F(a)
	\]
  \item (IDF) $\int_a^c f\,\ud g = fg\Big|_a^c - \int_a^c g\,\ud f$.
        Kai $c \uparrow b$, turime
	$\int_a^b f\,\ud g = fg\Big|_a^b - \int_a^b g\,\ud f$, kur
	$fg\Big|_a^b := \lim_{c \uparrow b} fg\Big|_a^c$.
	(Su sąlyga, kad visos ribos egzistuoja. Beje, jei dvi iš jų egzistuoja,
	tai egzistuos ir trečia).
  \item (KKF) analogiška.
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{pvzz}~\par							% 6.9
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\dx}{\sqrt{x}} = 2
        \)
  \item \(\displaystyle \int_0^\infty xe^{-x}\,\dx = 1
        \)
  \item \(\displaystyle \int_1^\infty e^{-\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2}\,\dx = 1-e^{-1}
        \)
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}[Abelio-Dirichle požymis]					% 6.10
Tarkime, kad $f \in C[a,b]$, $g \in C^2[a,b]$ ir
\begin{enumerate}
  \item $\left| \int_a^x f(t)\,\dt \right| \le M < +\infty$, $x \in [a,b)$
  \item $g(x) \downarrow 0$ (monotoniškai) kai $x \uparrow b$.
\end{enumerate}
Tada NI $\int_a^b f(x)g(x)\,\dx$ konverguoja ir $\left| \int_a^b f(x)g(x)\,\dx \right|
\le M g(a)$.  

\begin{ps*}
Kaip ir Abelio-Dirichle požymį eilutėms, jį apsimoka naudoti tik kai NI įgyja tiek
teigiamų, tiek neigiamų reikšmių.
\end{ps*}
\end{tg}

\begin{pvz}								% 6.11
\(\displaystyle \int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dx\) konverguoja (reliayviai).
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dx\) taip pat konverguoja.
\end{pvz}

\begin{tg}[Integralinis eilučių konvergavimo požymis]			% 6.12
Jei $f: [1, +\infty) \to [0, +\infty)$ mo\-no\-to\-niš\-kai mažėja, tai
\[ 
   \sum_{n=1}^\infty f(n) < +\infty \quad \Longleftrightarrow \quad
   \int_1^\infty f(x)\,\dx < +\infty
\]
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 6.13
\begin{enumerate}
  \item \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} < +\infty
           \quad \Longleftrightarrow \quad
           \int_1^\infty \frac{\dx}{x^p} < +\infty
           \quad \Longleftrightarrow \quad
           p > 1
        \]
  \item \[ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln^p n} < +\infty
           \quad \Longleftrightarrow \quad
           \int_2^\infty \frac{\dx}{x \ln^p x} 
           = \int_{\ln 2}^\infty \frac{\ud \ln x}{\ln^p x} < +\infty
           \quad \Longleftrightarrow \quad
           p > 1
        \]
\end{enumerate}
\end{pvzz}

%
% ---------------------------------------------------------------------
%

\newpage
\setcounter{section}{0}
\part{Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas}

\section{Erdvė $\R^k$}							% 1

{\small Žr. V.~Mackevičiaus atsiųstus konspektus.}

\section{Funkcijos riba ir tolydumas}					% 2

Šiame paragrafe nagrinėsime funkcijas $f: D \to Y$, $D \subset X = \R^k$,
$Y = \R^m$.  Kai $m = 1$, $f$ -- \Def{$k$-kintamųjų reali funkcija} (arba
realioji funkcija erdvėje $\R^k$).  Kai $k = 1$, $f$ -- \Def{vektorinė
realaus kintamojo funkcija}.

Dauguma toliau formuluojamų teiginių galioja bet kokioms metrinėms erdvėms
$X$ ir $Y$.

\begin{ap}								% 2.1
Tarkime, $f: D \to Y$, $x^0 \in D'$. Sakoma, kad funkcijos $f$ \Def{riba}
taške $x^0$ yra $y \in Y$, jei
\[ \forall \eps > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad d(f(x), y) < \eps
\textrm{ kai } 0 < d(x, x^0) < \delta
\]                                   
Tokiu atveju rašoma $y = \lim_{x \to x^0} f(x)$.
\end{ap}

\begin{tg}								% 2.2
Tarkime, $f: D \to Y$, $x^0 \in D'$. Tada šie teiginiai ekvivalentūs:
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle \lim_{x \to x^0} f(x) = y
        \)
  \item Kiekvienai sekai $D \setminus \{x^0\} \ni x^n \to x^0$ teisinga
        \( f(x^n) \to y$, kai $n \to \infty$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{pvzz}~\par							% 2.3
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x_1^2 x_2^2}{x_1^2 + x_2^2} = 0 \)
  \item \(\displaystyle \not\exists \lim_{x \to 0} \frac{x_1 x_2}{x_1^2 + x_2^2} \)
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{pss}~\par							% 2.4
\begin{enumerate}
  \item Ir daugiamačiu atveju galime kalbėti apie begalines ribas:

	\(\displaystyle \lim_{x \to x^0} f(x) = +\infty \textrm{, jei }
	  \forall \Delta \in \R \quad \exists \delta > 0 \quad
	  f(x) > \Delta \textrm{ kai } 0 < d(x, x^0) < \delta
	\)
  \item \(\displaystyle \lim_{x \to x^0} f(x) = y, \quad x^0 = (x^0_1, \ldots, x^0_k) 
          \textrm{, jei kiekvienai sekai } x^0 \ne x \to x^0 \textrm{ turime, kad }
          f(x^n) \to y \textrm{, kai } \quad n \to \infty
	\)
\end{enumerate}
\end{pss}

\begin{tg}								% 2.5
$f, g: D \to \R$ $(m = 1)$, $\lim_{x \to x^0} f(x) = a \in \R$, 
$\lim_{x \to x^0} g(x) = b \in \R$.  Tada
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle \lim_{x \to x^0} \big(f(x) + g(x)\big) = a + b\)
  \item \(\displaystyle \lim_{x \to x^0} \big(f(x) g(x)\big) = a b\)
  \item Jei be to $b \ne 0$, tai
        \(\displaystyle \lim_{x \to x^0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}\)
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ap}								% 2.6
Sakoma, kad funkcija $f: D \to Y$ yra \Def{tolydi} taške $x^0 \in D$, jei
\[ \forall \eps > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad d(f(x), x^0) < \eps,
   \textrm{ kai } d(x, x^0) < \delta
\]
\begin{ps*}
Kai $x^0 \in D'$, tolydumas taške $x^0$ ekvivalentus lygybei $\lim_{x \to x^0} = f(x^0)$.
Kai $x^0$ -- izoliuotas $D$ taškas, bet kokia funkcija yra tolydi tame taške.
\end{ps*}
\end{ap} 

\begin{tg}~\par								% 2.7
\begin{enumerate}
  \item Jei $f, g: D \to \R$ yra tolydžios taške $x^0 \in D$, tai $f+g$, $fg$ ir,
        jei $g(x^0) \ne 0$, $\frac{f}{g}$ yra tolydžios taške $x^0$.
  \item Jei $f: D \to \widetilde{D} \subset Y$ yra tolydi taške $x^0 \in D$, o 
        $g: \widetilde{D} \to Z$ yra tolydi taške $y^0 := f(x^0)$, tai funkcija
        $g \circ f$ yra tolydi taške $x^0$.
  \item Funkcija $f = (f_1, f_2, \ldots, f_m) : D \subset X \to \R^m$ yra tolydi
        taške $x^0 \in D$ tada ir tik tada, kai visos koordinatinės funkcijos 
        $f_i: D \to \R$ yra tolydžios taške $x^0$.
\end{enumerate}
\end{tg}       

\begin{pvzz}~\par							% 2.8
\begin{enumerate}
  \item $f(x) = C = \const$, yra tolydi visuose taškuose $x \in D$.
  \item $\phi_i(x) := x_i$, $x = (x_1, x_2, \ldots, x_k) \in \R^k$ -- \Def{koordinatinė
        funkcija}, arba tiesiog \Def{koordinatė}. $\phi_i$ yra tolydi visuose taškuose.
  \item $P(x) = \sum c_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k} x_1^{n_1}x_2^{n_2} \cdots 
        x_k^{n_k}$, $x \in \R^k$, $c_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k} \in \R$,
        $n_i \in \N \cup \{0\}$, be to, sumoje yra baigtinis skaičius narių.  Funkcija $P$
        vadinama \Def{$k$ kintamųjų daugianariu}.  Ji yra tolydi visuose taškuose.
  \item Metrika $d: X \times X \to \R$ -- tolydi funkcija.
        (Erdvėje $X^2 = X \times X$ metriką galime apibrėžti taip:
        $d_2 \big( (x^1, x^2), (y^1, y^2) \big) := \sqrt{d(x^1,y^1)^2 + d(x^2,y^2)^2}$).
\end{enumerate}
\end{pvzz}

\begin{tg}								% 2.9
Sakykime, $f: X \to Y$.  Tada šie teiginiai ekvivalentūs:
\begin{enumerate}
  \item $f \in C(X, Y)$  (t.y. $f$ tolydi visuose metrinės ervės $X$ taškuose).
  \item Kiekvienos atvirosios aibės $G$ erdvėje $Y$ pirmavaizdis $f^{-1}(G)$ --
        atviroji aibė erdvėje $X$.
  \item Kiekvienos uždarosios aibės $F$ erdvėje $Y$ pirmavaizdis $f^{-1}(F)$ --
        uždaroji aibė erdvėje $X$.
  \item Su kiekviena aibe $A \in X$ turime $F(\overline{A}) \subset \overline{F(A)}$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{tg}								% 2.10
Jei $f \in C(X, Y)$, $K \subset X$ -- kompaktiška aibė, tai $f(K) \subset Y$ -- taip
pat kompaktiška aibė.
\end{tg}

\begin{isvv}~\par							% 2.11
\begin{enumerate}
  \item (Vejerštraso teorema).  Jei $f \in C(K) = C(K, \R)$, $K \subset X$ -- kompaktiška
        aibė, tai $f(K)$ -- aprėžta aibė ir $\exists x^1, x^2 \quad f(x^1) = \sup f(K),
        \quad f(x^2) = \inf f(K)$ (funkcija $f$ įgyja didžiausią ir mažiausią reikšmes).
  \item Jei $f \in C(K, K_1)$ -- bijekcija, $K \subset X$, $K_1 \subset Y$ -- kompaktiškos
        aibės, tai $f^{-1} \in C(K_1, K)$ (t.y. $f^{-1}$ taip pat tolydi).
\end{enumerate}
\end{isvv}

\begin{ap}								% 2.12
Funkcija $f: X \to Y$ vadinama \Def{tolygiai tolydžia} aibėje $A \subset X$, jei
\[
  \forall \eps > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad
    d\big(f(x^1), f(x^2)\big) < \eps \textrm{ kai }
    d(x^1, x^2) < \delta, \quad x^1, x^2 \in A.
\]
\end{ap}

\begin{tr}[Kantoro teorema]						% 2.13
Jei $f \in C(X, Y)$, tai $f$ yra tolygiai tolydi kiekvienoje kompaktiškoje
aibėje $K \subset X$.
\end{tr}


\section{Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas}			% 3

\newcommand{\aA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\aL}{\mathcal{L}}

\begin{ap}[Tiesinės algebros prisiminimai]				% 3.1
Atvaizdis $\aA: \R^k \to \R^m$ vadinamas \Def{tiesiniu}, jei $\forall x, y \in \R^k$,
$\alpha, \beta \in \R$, $\aA(\alpha x + \beta y) = \alpha \aA x + \beta \aA y$.

Kai $k = 1$, $\aA$ vadinamas \Def{tiesiniu funkcionalu}.

Visų tokių atvaizdžių aibė yra tiesinė erdvė $\aL(\R^k, \R^m)$.  Bet kokį tokį tiesinį
atvaizdį galime užrašyti formule
\[
  (\aA x)_i = \sum_{j=1}^k a_{ij} x_j
  \qquad i = 1 \ldots m
  \quad a_{ij} \in \R
\]         
(Čia ir toliau žymėsime $\aA x := \aA(x)$).

Tiesinio atvaizdžio \Def{matrica} 
\[
  [A] := \pmatrix{a_{11} & \cdots & a_{1k} \cr
                  \vdots & \ddots & \vdots \cr
                  a_{m1} & \cdots & a_{mk}}
\]

Savybės:
\begin{enumerate}
  \item $[A+B] = [A] + [B]$
  \item $[\lambda A] = \lambda [A]$
  \item $[BA] = [B][A]$
\end{enumerate}

Vektoriai $x = (x_1, x_2, \ldots, x_k)$, $y = (y_1, y_2, \ldots, y_m)$. Tada
\[
  y = \aA x \qquad \Longleftrightarrow \qquad y^T = [A] x^T
\]

Dažnai vietoje eilutinių vektorių imami stulpeliniai ir rašoma tiesiog $y = [A]x$.
\end{ap}

\begin{ap}								% 3.2
Jei $A$ -- matrica, tai skaičius 
\[\|A\|_e := \sqrt{\sum_{i,j} (A)_{ij}^2}
\]
vadinamas jos \Def{euklidine norma}, o 
\[\|A\| := \sup_{|x|=1} |Ax|
\]                               
-- jos \Def{operatorine norma}.
\end{ap}

\begin{tg}								% 3.3
$\|\cdot\|$ ir $\|\cdot\|_e$ yra normos erdvėje $\aL(R^k, \R^m)$, be to
\begin{enumerate}
  \item $|Ax| \le \|A\| \cdot |x|$, $x \in R^k$
  \item $\|A\| \le \|A\|_e \le \sqrt{k} \|A\|$
\end{enumerate}
\end{tg}
                                                                                 
\noindent
Toliau šiame skyriuje $D$ žymėsime atvirąją aibę erdvėje $R^k$ (jei nepasakyta kitaip).

\begin{ap}								% 3.4
Sakoma, kad funkcija $f: D \to \R^m$ yra \Def{diferencijuojama} taške $x \in D$, jei
$\exists \aA \in \aL(\R^k, \R^m)$ toks, kad
\[
  f(x+h) - f(x) = \aA(h) + o(h) \qquad \textrm{kai } h \to \vec{0}
\]
arba
\[
  \lim_{h \to \vec{0}} \frac{|f(x+h) - f(x) - \aA(h)|}{|h|} = 0
\]

Atvaizdis $\aA$ vadinamas funkcijos $f$ \Def{diferencialu} taške $x$ ir žymimas
$\ud f(x)$, o jo matrica $[A]$ -- funkcijos $f$ \Def{išvestine} taške $x$ ir žymima
$f'(x)$.

Taigi, $\ud f(x) = f'(x) \cdot h = f'(x) \cdot \pmatrix{h_1 \cr \vdots \cr h_n}$.
\end{ap}

\begin{tg}[Išvestinės savybės]~\par					% 3.5
\begin{enumerate}
  \item Jei $f$ diferencijuojama taške $x \in D$, tai $f'(x)$ apibrėžta vienareikšmiškai.
  \item Jei $f$ diferencijuojama taške $x \in D$, tai $f$ tolydi tame taške.
  \item Jei $f(x) = C = \const$, $x \in D$, tai $f'(x) = \mathbf{0}$ (nulinė matrica).
  \item Jei $A \in \aL(\R^k, \R^m)$, tai $\aA'(x) = [A]$ (\/$\ud \aA(x) = \aA$).
        (Vienmačiu atveju turime $\ud(ax) = a\dx$ arba $(ax)' = a$).
  \item $(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)$, jei funkcijos $f$ ir $g$ diferencijuojamos
        taške $x$.
  \item $(\lambda f)'(x) = \lambda f'(x)$, jei funkcija $f$ diferencijuojama
        taške $x$.
  \item Jei $f: D \to D_1 \subset \R^m$ diferencijuojama taške $x \in D$, o 
        $g: D_1 \to \R^l$ diferencijuojama taške $y = f(x)$, tai $g \circ f$ diferencijuojama
        taške $x$ ir $(g \circ f)'(x) = g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)$.
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ap}								% 3.6
Tarkime, $f: D \to \R$, $x^0 \in D$. Funkcijos $f$ \Def{(kryptine) išvestine} kryptimi
$\vec{a} \in \R^k$ vadinamas skaičius
\[
  \frac{\partial f}{\partial a}(x^0) := \lim_{t \to 0} \frac{f(x^0+ta) - f(x^0)}{t}
\]
(su sąlyga, kad riba egzistuoja).  Atskiru atveju, kai $a = e_j = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots,
0)$, išvestinė $\frac{\partial f}{\partial e_j}(x^0)$ vadinama \Def{daline išvestine}
taške $x^0$ $x_j$ atžvilgiu (arba ``pagal $x_j$'', arba ``$j$-toji dalinė išvestinė'') ir
žymima
\[
  \frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0),	\qquad
  f'_{x_j}(x^0),			\qquad
  D_j f(x^0),				\qquad
  \frac{\ud f}{\ud x_j}(x^0)
\]

Taigi,
\[
  \frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0) := \lim_{t \to 0} 
    \frac{f(x^0_1, \ldots, x^0_{j-1}, x^0_j + t, x^0_{j+1}, \ldots, x^0_k) - f(x^0)}{t}
\]
\end{ap}                     

\newcommand{\DI}[2]{\frac{\partial f_{#1}}{\partial x_{#2}}}
\newcommand{\DIx}[2]{\DI{#1}{#2}(x)}
\newcommand{\DDI}[3]{\frac{\partial^2 f_{#1}}{\partial x_{#2}\partial x_{#3}}}

\begin{tg}\label{3.7}~\par						% 3.7
\begin{enumerate}
  \item \label{3.7.1}
        Jei $f: D \to \R^m$ yra diferencijuojama taške $x \in D$, tai
        \[
           f'(x) = \pmatrix{ \DIx{1}{1} & \DIx{1}{2} & \cdots & \DIx{1}{k} \cr
                             \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr
                             \DIx{m}{1} & \DIx{m}{2} & \cdots & \DIx{m}{k} }
        \]
  
        Kai $m = 1$, $f'(x) = \left(\DIx{}{1}, \DIx{}{2}, \ldots, \DIx{}{k}\right) =: \grad f(x)$
        -- funkcijos $f$ \Def{gradientas} taške $x$.
  \item Diferencijuojamos funkcijos $f: D \to \R$ išvestinė kryptimi $\vec{a} \in \R^k$
        yra lygi
        \[
           \frac{\partial f}{\partial a}(X) = \langle \grad f(x), a \rangle
        \]                                                                 
        ($\langle \cdot, \cdot \rangle$ -- skaliarinė sandauga).
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{pss}~\par							% 3.8
\begin{enumerate}
  \item Bendru atveju \ref{3.7}.\ref{3.7.1} atvirkščias teiginys nėra teisingas --
        iš visų funkcijos dalinių išvestinių egzistavimo neišplaukia funkcijos
        diferencijuojamumas.
        
        Funkcijos diferencijuojamumui taške pakanka, kad to taško aplinkoje egzistuotų
        visos dalinės išvestinės, o tame taške jos būtų tolydžios.
  \item Jei $g(t) = (f \circ \phi)(t)$, $t \in I \subset \R$, $f: D \to \R$, $\phi: I \to D$,
        kitaip sakant, $g(t) = f(\phi_1(t), \phi_2(t), \ldots, \phi_k(t))$, $t \in I$, tai
        \[
          g'(t) = \sum_{i=0}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}\big(\phi_i(t)\big) \cdot 
          \phi_i'(t) \qquad t \in I
        \]
\end{enumerate}
\end{pss}

% FIXME KODĖL NEVEIKIA \nopagebreak??? Uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu!
\pagebreak % jei veiktų tie prakeikti \nopagebreak, šito nereikėtų
\begin{tg}(Lagranžo vidutinės reikšmės teorema)~\nopagebreak[4]\par\nopagebreak[4]		% 3.9
\begin{enumerate}\nopagebreak[4]
  \item Tarkime, kad $f: D \to \R^m$ turi visas tolydžias išvestines srityje $D \subset \R^k$
        (žymėsime $f \in C^1(D, \R^m)$) ir $[x, y] := \{(1-t)x + ty : t \in [0, 1] \} \subset
        D$ (\/\Def{atkarpa}), $x, y \in \R^k$. Tada $\exists z \in [x, y]:$
        \[
          |f(y)-f(x)| \le \| f'(z) \| \cdot |y-x|
        \]                                       
  \item Jei be to $m = 1$, tai $\exists z \in [x, y]:$
        \[
          f(y)-f(x) = \langle f'(z), (y-x) \rangle
        \]
\end{enumerate}
\end{tg}

\begin{ps}								% 3.10
Kai $m > 1$, lygybės gali ir nebūti.
\end{ps}

\begin{ap}								% 3.11
Tarkime, kad funkcija $f: D \to \R$ turi dalinę išvestinę $\DI{}{i}$ srityje
$D$. Jei egzistuoja dalinė išvestinė $\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\DI{}{i}\right)$,
tai ji vadinama funkcijos $f$ \Def{antrosios eilės daline išvestine} pagal $x_i$ ir $x_j$
ir žymima
\[
   \DDI{}{j}{i},		\qquad
   f''_{x_i x_j},		\qquad
   D_{ij} f,			\qquad
   \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x_i} := \DDI{}{i}{i}
\]

Jei $f$ turi tolydžias visas antros eilės (dalines) išvestines srityje $D$, tai rašoma
$f \in C^2(D)$.

Analogiškai apibrėžiamos trečios, ketvirtos ir kitų eiltu išvestinės.
\end{ap}

\begin{tr}								% 3.12
Tarkime, kad funkcija $f: D \to \R$ turi dalines išvestines $\DDI{}{j}{i}$ ir
$\DDI{}{i}{j}$ taško $x \in D$ aplinkoje, tolydžias taške $x$. Tada
\[
  \DDI{}{j}{i}(x) = \DDI{}{i}{j}(x)
\]
\end{tr}

\begin{tr}[Teiloro formulė]						% 3.13
Tarkime, $f \in C^s(D)$. Jei $x^0 \in D$, $U_\delta(x^0) \subset D$, tai
$\forall x \in U_\delta(x^0) \quad \exists \Theta = \Theta(x^0, x) \in (0, 1):$
\[
  f(x) = \sum_{n=0}^{s-1} \frac{1}{n!}
         \sum_{j_1, j_2, \ldots, j_n = 1}^k
         \frac{\partial^n f(x^0)}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_n}}
         (x_{j_1} - x^0_{j_1}) \cdots (x_{j_n} - x^0_{j_n}) 
         + R_s(x^0, x)
\]                    
kur
\[
  R_s(x^0, x) = \frac{1}{s!}
         \sum_{j_1, j_2, \ldots, j_s = 1}^k
         \frac{\partial^s f\big(x^0 + \Theta(x-x^0)\big)}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_s}}
         (x_{j_1} - x^0_{j_1}) \cdots (x_{j_s} - x^0_{j_s}) 
\]                    

\begin{ps*}
Ši formulė užsirašo panašiai į vienmatį atvejį naudojant multiindeksus.
\Def{Multiindeksas} -- tai rinkinys $n = (n_1, \ldots, n_m)$, $n_i \in \N\cup\{0\}$.
$|n| := n_1 + \cdots + n_m$.

Jei $x \in \R^k$, $n = (n_1, \ldots, n_k)$, tai
\[ x^n := x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_k^{n_k}
\]
\[ \partial x^n := \partial x_1^{n_1} \partial x_2^{n_2}\cdots \partial x_k^{n_k}
\]
\[ f^{(n)}(x) := \frac{\partial^{|n|} f(x)}{\partial x^n}
\]

Tada Teiloro formulė atrodo taip:
\[
   f(x) = \underbrace{\sum_{|n| = 0}^s}
             _{\equiv \sum_{k=0}^s \sum_{|n| = k}}
          \frac{f^{(n)}(x^0)}{|n|!} (x-x^0)^n +
          \frac{1}{s!} \sum_{|n|=s} f^{(n)} \big(x^0 + \Theta(x-x^0)\big) (x-x^0)^n
\]
\end{ps*}
\end{tr}

\begin{isv}(Teiloro formulė su Peano liekamuoju nariu)			% 3.14
Tomis pačiomis sąlygomis
\[
  f(x) = \sum_{n=0}^s \frac{1}{n!}
         \sum_{j_1, j_2, \ldots, j_n = 1}^k
         \frac{\partial^n f(x^0)}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_n}}
         (x_{j_1} - x^0_{j_1}) \cdots (x_{j_n} - x^0_{j_n}) 
         + o(|x-x^0|^s), \qquad x \to x^0
\]                                       
(t.y. $\frac{R_{s+1}(x^0, x)}{|x-x^0|^s} \to 0$, $x \to x^0$).
\end{isv}

\begin{ap}								% 3.15
Taškas $x^0 \in D$ vadinamas funkcijos $f: D \to \R$ \Def{lokaliojo maksimumo}
(\/\Def{minimumo}) \Def{tašku}, jei $\exists \eps > 0: \quad f(x) \le f(x^0)$
(atitinkamai $f(x) \ge f(x^0)$), kai $x \in U_\eps(x^0)$.  Lokaliojo maksimumo
ir minimumo taškai vadinami \Def{ekstremumo taškais} arba tiesiog \Def{ekstremumais}.
\end{ap}

\begin{tg}[Būtina ekstremumo sąlyga]					% 3.16
Jei funkcija $f: D \to \R$ turi taške $x^0 \in D$ ekstremumą ir jame yra diferencijuojama,
tai $f'(x^0) = \vec{0} = (0, 0, \ldots, 0)$, t.y.
$\forall i = 1 \ldots k \quad \DI{}{i}(x^0) = 0$.
\end{tg}

\begin{tr}[Pakankamos ekstremumo sąlygos]				% 3.17
Tarkime, kad $f \in C^2(D)$, $f'(x^0) = \vec{0}$. Pažymėkime
\[
  a(h) := \sum_{i, j = 1}^{k} \DDI{}{i}{j}(x^0) h_i h_j
  \qquad h \in \R^k
\]      
\begin{enumerate}
  \item Jei kvadratinė forma $a(h)$ teigiamai apibrėžta (t.y. $a(h) > 0$ kai $h \ne \vec{0}$),
        tai funkcija $f$ taške $x_0$ turi lokalųjį minimumą.
  \item Jei kvadratinė forma $a(h)$ neigiamai apibrėžta (t.y. $a(h) < 0$ kai $h \ne \vec{0}$),
        tai funkcija $f$ taške $x_0$ turi lokalųjį maksimumą.
  \item Jei $a$ -- neapibrėžta kvadratinė forma (t.y. $\exists h^1, h^2 \ne \vec{0}:$
        $a(h^1) > 0$ ir $a(h^2) < 0$), tai funkcija taške $x^0$ ekstremumo neturi.
        Tokie taškai vadinami \Def{balno taškais}
\end{enumerate}                                  
\begin{ps*}
Ne visi atvejai išsemti: jei $\forall h \quad a(h) > 0$ bet $\exists h^0 \ne \vec{0} \quad a(h^0) = 0$,
ši teorema atsakymo neduoda.
\end{ps*}
\end{tr}

\begin{pvz}								% 3.18
$k = 2$,
\[A = \pmatrix{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x^0) & 
                \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x^0) \cr
                \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x^0) &
                \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x^0) }
\]
$a(x) = x^T A x$

Remsimės Silvestro kriterijumi:
$\Delta_1 := \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x^0)$, $\Delta_2 := |A|$.

Jei $\Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0$, tai $x^0$ -- minimumo taškas.

Jei $\Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0$, tai $x^0$ -- maksimumo taškas.

Jei $\Delta_2 < 0$, tai $x^0$ nėra ekstremumo taškas.

Kitais atvejais ($\Delta_2 = 0$ arba $\Delta_2 > 0$ ir $\Delta_1 = 0$) atsakymo reikės
ieškoti kitais būdais.
\end{pvz}

% ----------
% Templates:

%\begin{tg}								% 6.
%
%\end{tg}

%\begin{enumerate}
%  \item 
%  \item 
%\end{enumerate}

%\begin{pvzz}~\par							% 6.
%\begin{enumerate}
%  \item 
%  \item 
%\end{enumerate}
%\end{pvzz}

% FIXME: ...

\end{document}